Ejercicio 3.- Sea la matriz A =
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
a) [1’75 puntos] Estudia, seg ́un los valores de λ, el rango de la matriz A − λI, siendo I la matriz identidad
de orden tres.
b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema dado por (A − 2I)
x
y
z
0
0
0
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A – λI, siendo I la matriz identidad de orden tres.
La matriz λI es:
(λ 0 0)
(0 λ 0)
(0 0 λ)
La matriz final es:
(2 1 0) (λ 0 0) (2-λ 1 0 )
(0 1 -1) – (0 λ 0) = ( 0 1-λ -1 )
(0 2 4) (0 0 λ) ( 0 2 4-λ)
Para encontrar el rango la condición es Det(A – λI) = 0
|2-λ 1 0 |
| 0 1-λ -1 | = -λ^3 + 7λ^2 - 16λ + 12 = 0
| 0 2 4-λ|
λ1 = 2
λ2 = 3
Para λ = 2:
(0 1 0)
(0 -1 -1) -> F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango = 2
(0 2 2)
Para λ = 3:
(-1 1 0)
( 0 -2 -1) -> F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango = 2
( 0 2 1)
Se concluye que para λ = 2 o λ = 3 el rango es de 2 y para λ ≠ 2 o λ ≠ 3 el rango es de 3.
b) Resuelve el sistema dado por (A – 2I)X = 0.
El sistema se resuelve como:
(0 1 0) (X) (0)
(0 -1 -1) * (Y) = (0)
(0 2 2) (Z) (0)
Resolviendo:
( Y ) (0)
( - Y – Z ) = (0)
(2Y + 2Z) (0)
El sistema de ecuaciones queda:
Y = 0
-Y – Z = 0
2Y + 2Z = 0
Sustituyendo Y = 0 se tiene que:
Z = 0
Solución:
X = t
Y = 0
Z = 0
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.