Ejercicio 4.- Sea r la recta dada por (
x + z = 1
y = −1
y sea s la recta definida por
x = 2 + λ
y = 2
z = 2 + 2λ
a) [1’75 puntos] Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuaci ́on de la recta que corta
perpendicularmente a r y a s.
b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y s.
Se obtiene el vector director y el punto de las rectas r y s.
Para la recta r:
Vdr = (-1, 0, 1)
A (1, -1, 0)
Para la recta s:
Vds = (1, 0, 2)
B (2, 2, 2)
Se determina el vector AB.
AB = B – A = (2, 2, 2) – (1, -1, 0) = (1, 3, 2)
Se comprueba si las 2 rectas se cruzas cuando el determinante de la matriz creada con Vdr, Vds y AB es distinto de 0.
|-1 0 1|
| 1 0 2| = 3 + 6 = 9
| 1 3 2|
Como Det ≠ 0 se comprueba que las rectas se cruzan.
Se tiene que cualquier punto de las rectas r y s, además del vector entre ambos puntos es:
Pr (1 – t, -1, t)
Ps (2 + q, 2, 2 + 2q)
PsPr = Pr – Ps = (1 – t, -1, t) – (2 + q, 2, 2 + 2q) = (-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q)
Como PsPr es perpendicular a Vdr y Vds se tiene que:
PsPr * Vdr = 0
(-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q) * (-1, 0, 1) = 0
1 + t + q + t – 2 – 2q = 0
2t – q – 1 = 0
PsPr * Vds = 0
(-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q) * (1, 0, 2) = 0
-1 – t – q + 2t – 4 – 4q = 0
t – 5q – 5 = 0
El sistema de ecuaciones queda:
2t – q – 1 = 0
t – 5q – 5 = 0
Se despeja t de la segunda ecuación y se sustituye en la primera.
t = 5 + 5q
2(5 + 5q) – q – 1 = 0
10 + 10q – q – 1 = 0
q = -1
Sustituyendo el valor de q se tiene que t es:
t = 5 + 5(-1) = 0
El vector director PsPr es:
PsPr = (-1 - 0 – (-1), -3, 0 – 2 – 2(-1)) = (0, -3, 0)
Pr (1 – 0, -1, 0) = Pr (1, -1, 0)
La ecuación de la recta perpendicular a r y s es:
m: λ*(0, -3, 0) + (1, -1, 0)
b) Calcula la distancia entre r y s.
La distancia entre r y s es la distancia del vector director de la recta perpendicular a r y s.
PsPr = (0, -3, 0)
|PsPr| = √0^2 (-3)^2 + 0^2
|PsPr| = 3
La distancia entre las rectas r y s es de 3.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.