Ejercicio 4.- Sea r la recta dada por (

x + z = 1
y = −1

y sea s la recta definida por

x = 2 + λ
y = 2
z = 2 + 2λ

a) [1’75 puntos] Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuaci ́on de la recta que corta
perpendicularmente a r y a s.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II

Respuestas

Respuesta dada por: Osm867
1

a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y s.

 

Se obtiene el vector director y el punto de las rectas r y s.

 

Para la recta r:

 

Vdr = (-1, 0, 1)

 

A (1, -1, 0)

 

Para la recta s:

 

Vds = (1, 0, 2)

 

B (2, 2, 2)

 

Se determina el vector AB.

 

AB = B – A = (2, 2, 2) – (1, -1, 0) = (1, 3, 2)

 

Se comprueba si las 2 rectas se cruzas cuando el determinante de la matriz creada con Vdr, Vds y AB es distinto de 0.

 

|-1  0  1|

| 1  0  2| = 3 + 6 = 9

| 1  3  2|

 

Como Det ≠ 0 se comprueba que las rectas se cruzan.

 

Se tiene que cualquier punto de las rectas r y s, además del vector entre ambos puntos es:

 

Pr (1 – t, -1, t)

 

Ps (2 + q, 2, 2 + 2q)

 

PsPr = Pr – Ps = (1 – t, -1, t) – (2 + q, 2, 2 + 2q) = (-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q)

 

Como PsPr es perpendicular a Vdr y Vds se tiene que:

 

PsPr * Vdr = 0

 

(-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q) * (-1, 0, 1) = 0

 

1 + t + q + t – 2 – 2q = 0

 

2t – q – 1 = 0

 

PsPr * Vds = 0

 

(-1 - t – q, -3, t – 2 – 2q) * (1, 0, 2) = 0

 

-1 – t – q + 2t – 4 – 4q = 0

 

t – 5q – 5 = 0

 

El sistema de ecuaciones queda:

 

2t – q – 1 = 0

 

t – 5q – 5 = 0

 

Se despeja t de la segunda ecuación y se sustituye en la primera.

 

t = 5 + 5q

 

2(5 + 5q) – q – 1 = 0

 

10 + 10q – q – 1 = 0

 

q = -1

 

Sustituyendo el valor de q se tiene que t es:

 

t = 5 + 5(-1) = 0

 

El vector director PsPr es:

 

PsPr = (-1 - 0 – (-1), -3, 0 – 2 – 2(-1)) = (0, -3, 0)

 

Pr (1 – 0, -1, 0) = Pr (1, -1, 0)

 

La ecuación de la recta perpendicular a r y s es:

 

m: λ*(0, -3, 0) + (1, -1, 0)


PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.

Preguntas similares