Ejercicio 4.- Considera un rect ́angulo de v ́ertices consecutivos A, B, C y D siendo A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1).
Sabiendo que la recta r que contiene a los puntos C y D pasa por el origen de coordenadas se pide:
a) [0’75 puntos] Halla unas ecuaciones param ́etricas de r.
b) [1 punto] Calcula el ́area del tri ́angulo ABC.
c) [0’75 puntos] Determina las coordenadas del punto D.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
a) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.
El vector director de la recta que pasa por CD es el mismo que el de la recta que pasa por AB, por lo tanto el vector AB es:
AB = B – A = (2, 2, 1) – (1, 1, 0) = (1, 1, 1)
Ya que la recta r pasa por el origen de coordenadas se tiene que su ecuación es:
r: λ*(1, 1, 1) + (0, 0, 0)
b) Calcula el área del triángulo ABC.
Con el punto B y el vector AB se obtiene un plano perpendicular a la recta y que además pasa por el punto B y C.
π: x + y + z + K = 0
Se sustituyen las coordenadas del punto B (2, 2, 1).
2 + 2 + 1 + K = 0
K = -5
La ecuación del plano es:
π: x + y + z - 5 = 0
Ahora se intercepta la recta r con el plano y su punto en común será el punto C.
C (λ, λ, λ)
Sustituyendo C en la ecuación del plano:
λ + λ + λ – 5 = 0
λ = 5/3
C (5/3, 5/3, 5/3)
El vector AC es:
AC = C – A = (5/3, 5/3, 5/3) – (1, 1, 0) = (2/3, 2/3, 5/3)
Ahora se aplica la ecuación para el área de un triángulo:
A = |AB x AC| / 2
A = |(1, 1, 1) x (2/3, 2/3, 5/3)| / 2
A = |(1, -1, 0)| / 2
A = √[1^2 + (-1)^2 + 0^2] / 2 = √2 / 2 u^2
El área es √2 / 2 u^2.
c) Determina las coordenadas del punto D.
Con el punto A y el vector director de r se crea un plano perpendicular a r y que contenga a los puntos A y D.
π: x + y + z + Q = 0
Se sustituyen las coordenadas de A (1, 1, 0).
1 + 1 + Q = 0
Q = -2
La ecuación del plano es:
π: x + y + z – 2 = 0
Ahora si se intercepta la recta r con el plano se obtienen las coordenadas del punto D.
D (λ, λ, λ)
Sustituyendo D en la ecuación del plano:
λ + λ + λ – 2 = 0
λ = 2/3
D (2/3, 2/3, 2/3)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.