Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 1 sabiendo que el ́area del recinto comprendido entre la
par ́abola y = −x2 + ax y la recta y = x es 4


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

Para calcular el área limitada por las funciones dadas, debemos determinar el límite inferior y el límite superior de integración, para esto veremos en cuales puntos del plano las funciones se cortan.

$y = -x^2 + ax$;

$y = x$     ⇒     $-x^2 + ax = x$     ⇒   $-x^2 + (a-1)x = 0$

dando como resultado $x = 0$ y $x = a - 1$.

ahora planteamos la integral con la cual se calculará el área en cuestión, usado la diferencia de las dos funciones.

Sabemos que A= 4/3, así

$\int\limits^{a-1}_0 {(-x^2+ax-x)} \, dx$ = $\left[\begin{array}{ccc} -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - \frac{x^2}{2} \end{array}\right]^{a-1}_0$ 

= $- \frac{(a-1)^3}{3} + \frac{a(a-1)^2}{2} - \frac{(a-1)^2}{2} = \frac{4}{3}$ 

⇒ $a^{3} -3a^2+3a=0$

La ecuación resultante se resuelve mediante el método de Ruffini, dando como resultado  a= 3.