Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci ́on dada por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Halla los
coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x = 0, que (1, 0) es
punto de inflexi ́on de la gr ́afica de f y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es −3.

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

Con la finalidad de evaluar el extremo local en la abscisa x=0 , calculamos la primera derivada de la función f(x)= ax3 + bx2+ cx + d

 

$F'(x)= 3ax^2 + 2bx + c$

Si f tiene un extremo en el punto x=0, entonces por el criterio de la primera derivada se debe cumplir que f’(0)=0. Así,

$F'(0)= 3a(0)^2+2b(0) + c$  ⇒ c=0.

Como el punto (1,0) representa un punto de inflexión, es decir, la función cambia de una concavidad a otra, matemáticamente la segunda derivada debe ser igual a 0, esto es.

$F''(x) = 6ax + 2b = 0.$

Por lo tanto, evaluamos la segunda derivada en el punto x = 1.

$F''(1) = 6a(1) + 2b = 6a + 2b = 0$. (Esta ecuación la llamaremos I)

Asimismo, como está claro que la función pasa por el punto (1,0) la evaluamos en el obteniendo.

$F(1) = a.13 + b.12 + c.1 + d = 0$ ⇒ $a + b + c + d = 0$. (Esta ecuación la llamaremos II)

Finalmente, la tangente a la gráfica de f en el punto x= 1 es igual a -3, así

$F'(1) = 3a(1)^2+2b(1) + c = 0$ ⇒ $3a + 2b + c = -3$ (Esta ecuación la llamaremos III)

Obteniendo el siguiente sistema con las ecuaciones I, II y III. Tomando en cuenta que c = 0.

1)       6a + 2b = 0

2)       a + b + d = 0

3)       3a + 2b = -3

Al resolverlo obtenemos que los valores de los coeficientes son:

a = 1

b = -3

c = 0

d = 2