Ejercicio 3.- Considera el sistema dado por AX = B
A =
α 2 −1
0 1 2
3 4 α

 , B =


1
α − 2
3

 y X =


x
y
z

 .
a) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene soluci ́on ́unica.

b) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene soluci ́on.

c) [1 punto] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones.

Halla todas las soluciones en dichos casos.

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Respuestas

Respuesta dada por: erikalmeida

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Primero se debe calcular la determinante de la matriz A. obteniendo

$|A| = \left[\begin{array}{ccc} \alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4& \alpha \end{array}\right]$ = $\alpha ^2 - 8 \alpha + 15 = 0$

⇒ α=3; α=5

Por lo tanto, hay 3 opciones, α = 3, α = 5 o α ≠ 3 y 5.

a) El sistema tiene solución única, es decir, es compatible determinado cuando α ≠ 3 y 5, solución que obtenemos a través de la regla de Cramer de la siguiente forma.

$x = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\ \alpha -2&1&2\\3&4& \alpha \end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4& \alpha \end{array}\right] }$ = $\frac{-2 \alpha ^2+ \alpha +15}{ \alpha ^2-8 \alpha +15}$

$y = \frac{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha &1&-1\\0& \alpha -2&2\\3&3& \alpha \end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4& \alpha \end{array}\right] }$ = $\frac{ \alpha ^3-2 \alpha ^2-3 \alpha }{ \alpha ^2-8 \alpha +15}$

$z= \frac{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha &2&1\\0&1& \alpha -2\\3&4&3\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4& \alpha \end{array}\right] }$ = $\frac{-4 \alpha ^2+17 \alpha -15}{ \alpha ^2-8 \alpha +15}$