Question

Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x2 − |x|.

a) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de f.



Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Debido a el valor absoluto presente en la ecuación, la función queda de la siguiente forma

 

f (x) = x2 - |x|  =

⇒ x2 + x    si   x<0

⇒ x2 – x    si   x>=0

 

Ambas funciones son polinómicas, por lo tanto, son continuas y su derivada existe para los casos en que x toma valores menores o mayores a 0. Estudiaremos la derivabilidad cuando x=0

 

Como   F(0) = 0

 

Y el limite cuando x tiende a 0 de x^2 + x es igual a 0 y el limite cuanto x tiende a 0 de x^2 – x    también es 0, entonces el limite cuando x tiende a 0 de f(x) es igual a 0.

 

Entonces f(0) = $\lim_{x \to \0} f(x) = 0$

 

Podemos concluir que f(x) es continua.

 

Ahora, derivamos f(x) cuando x=0 y obtenemos:

F’(x) =

⇒ 2x + 1   si x<0   ⇒  $f'_1(0) = 1$

⇒ 2x – 1    si x>0   ⇒  $f'_2(0) =- 1$

 

Como $f'_1(0)$ ≠ $f'_2(0)$ entonces f(x) no es derivable.