Question

Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x2 − |x|.

a) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de f.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)       Debido a el valor absoluto presente en la ecuación, la función queda de la siguiente forma

 

f (x) = x2 - |x|  =

 

⇒ x2 + x    si   x<0

⇒ x2 – x    si   x>=0

 

Ambas funciones son polinómicas, por lo tanto, son continuas y su derivada existe para los casos en que x toma valores menores o mayores a 0. Estudiaremos la derivabilidad cuando x=0

 

Como F(0) = 0

 

Y el limite cuando x tiende a 0 de x^2 + x es igual a 0 y el limite cuanto x tiende a 0 de x^2 – x    también es 0, asi el limite cuando x tiende a 0 de f(x) es igual a 0.

 

Entonces f(0) = el limite cuando x tiende a 0 de f(x) = 0.

 

Podemos concluir que f(x) es continua.

 

Ahora, derivamos f(x) cuando x=0 y obtenemos:

F’(x) =

⇒ 2x + 1   si x<0   ⇒  $f'_1(0)$ = 1

⇒2x – 1    si x>0   ⇒  $f'_2(0)$ = -1

 

Como $f'_1(0)$ ≠ $f'_2(0)$  entonces f(x) no es derivable.

 

b)      Obtenemos los intervalos igualando la primera derivada a 0 y despejando el valor de x.

2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2

2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2

Así, los intervalos están dados de la siguiente forma

(-∞, -1/2) donde  f'(x) es negativa.

(-1/2,0) donde  f'(x) es positiva.

(0,1/2) donde  f'(x) es negativa.

(1/2, ∞) donde f'(x) es positiva. 

c)       Para obtener los extremos relativos la primera derivada debe ser igual a 0 y la segunda derivada distinta de 0.

obtenemos los siguientes valores: 

X = -1/2 ⇒ m(-1/2, -1/4)

X = 0 ⇒ pico (0,0)

X= 1/2  ⇒ m (1/2, -1/4)