Question

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de una funci´on f en el punto
de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f
′
(x) = (x − 1)2
x + 1
para x > −1


Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

La ecuación de la recta tangente a una curva tiene la siguiente expresión:

 

Y – Yo = f’(Xo) * (X – Xo)

 

Dónde:

 

Xo es el punto de la abscisa donde se desea la recta tangente.

 

Yo es la imagen de Xo en la función f(x).

 

f’(Xo) es la función derivada y evaluada en el punto de estudio.

 

De los datos del ejercicio se tiene:

 

Xo = 1

 

f’(Xo) = (x - 1)^2 / (x + 1)

 

f’(1) = (1 – 1)^2 / (1 + 1) = 0

 

Para obtener Yo hay que integrar f’(x), como se muestra a continuación:

 

∫[(x - 1)^2 / (x + 1)] dx

 

Desarrollando el numerador se tiene que:

 

∫[(x^2 – 2x + 1) / (x + 1)] dx

 

Dividiendo los polinomios se tiene que:

 

(x^2 – 2x + 1) / (x + 1) = (x – 3) + 4 / (x + 1)

 

Sustituyendo en la integral se tiene que:

 

∫[(x – 3) + 4 / (x + 1)] dx

 

Aplicando las propiedades de las integrales:

 

∫(x – 3) dx + ∫[4 / (x + 1)] dx

 

La primitiva es:

 

f(x) = x^2 / 2 – 3x + 4*ln(x + 1) + C

 

Sí f(0) = 0 se tiene que la constante de integración es:

 

0 = (0^2 / 2) – (3*0) + 4*ln(0 + 1) + C

 

C = 0

 

Por lo tanto la función queda:

 

f(x) = x^2 / 2 – 3x + 4*ln(x + 1)

Evaluando la función en x = 1:

 

f(1) = (1)^2 / 2 – 3*1 + 4*ln(1 + 1) = 0,273

 

Finalmente la ecuación de la recta tangente es:

 

Y – 0,273 = 0*(X – 1)

 

Y = 0,273

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.