Ejercicio 3.- Considera las matrices
A =
−1 1 1
0 1 0
−2 1 1
y B =
−3 3 2
−8 7 4
8 −6 −3
.
a) [1’75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A.
b) [0’75 puntos] Calcula B2
y B2016
.
Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II
Respuestas
a) Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A.
Se calcula el determinante de A.
|-1 1 1|
Det(A) = | 0 1 0| = (-1)(1 – 0) – (1)(0 – 0) + (1)(0 + 2) = 1
|-2 1 1|
Como Det(A) ≠ 0 se concluye que la matriz A si tiene inversa.
La matriz inversa de A es:
(-1 1 1 | 1 0 0)
( 0 1 0 |0 1 0)
(-2 1 1 |0 0 1)
Operaciones matemáticas:
F1 = F1 – F3
F3 = F3 + 2F1
F3 = F3 – F2
La matriz inversa es:
( 1 0 -1)
A^-1 = ( 0 1 0)
( 2 -1 -1)
Ahora se despeja la expresión matemática:
AX + B = 2A
AX = 2A – B
A^-1 * AX = 2*A^-1*A – A^-1*B
X = 2*I – A^-1*B
(1 0 0) (1 0 -1) (-3 3 2)
X = 2 * (0 1 0) – (0 1 0) * (-8 7 4)
(0 0 1) (2 -1 -1) ( 8 -6 -3)
(2 0 0) (-11 9 5)
X = (0 2 0) – ( -8 7 4)
(0 0 2) ( -6 5 3)
(13 9 5)
X = ( 8 -5 -4)
( 6 -5 -1)
b) Calcula B^2 y B^2016.
B^2 = B * B
(-3 3 2) (-3 3 2)
B^2 = (-8 7 4) * (-8 7 4)
( 8 -6 -3) ( 8 -6 -3)
(1 0 0)
B^2 = (0 1 0)
(0 0 1)
Como la matriz B elevada a un número par es la matriz identidad, es posible determinar que:
B^2016 = (B^2)^1008 = I
(1 0 0)
B^2016 = (0 1 0)
(0 0 1)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.