Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que
lim
x→0
ln(x + 1) − a sen(x) + x cos(3x)
x
2
es finito, calcula a y el valor del l´ımite (ln denota logaritmo neperiano).

Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

1)      Se evalúa el valor del logaritmo.

 

Lim x -> 0 [ln(x + 1) – a*sen(x) + x*Cos(3x) / x^2]

 

= [ln(0 + 1) – a*sen(0) + 0*Cos(3*0) / 0^2] = 0 / 0 (indeterminado)

 

2)      Se aplica L’Hopital.

 

El método de L’Hopital consiste en derivar el numerador y denominador por separado cuando el límite es una indeterminación 0/0 ó ∞/∞.

 

Se aplica la derivada al límite original y se tiene que:

 

Lim x ->0 [(1/x + 1) – a*cos(x) + cos(3x) – 3x*sen(3x) / 2x]

 

3)      Se evalúa la expresión obtenida por el método de L’Hopital.

 

Lim x ->0 [(1/x + 1) – a*cos(x) + cos(3x) – 3x*sen(3x) / 2x]

 

= 1 – a*cos(0) + cos(3*0) – 3*0*sen(3*0) / 2*0 = (1 – a + 1) / 0

 

Como en el enunciado se expresa que el valor del límite debe ser finito, se concluye que el numerador debe ser igual a cero.

 

1 – a + 1 = 0

 

a = 2

 

Como a = 2, entonces el valor del límite es una indeterminación 0/0 y por lo tanto se debe aplicar nuevamente L’Hopital.

 

4)      Aplicando L’Hopital.

 

Lim x ->0 [(- 1 / (x + 1)^2) + 2*sen(x) – 3*sen(3x) – 9*x*cos(3x) / 2]

 

5)      Se evalúa el límite obtenido.

 

Lim x ->0 [(- 1 / (x + 1)^2) + 2*sen(x) – 3*sen(3x) – 9*x*cos(3x) / 2]

 

(- 1 / (0 + 1)^2) + 2*sen(0) – 3*sen(3*0) – 9*0*cos(3*0) / 2 = -1/2

 

El valor del límite es de -1/2.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.