Problema B.1. Se da el sistema de ecuaciones { (1 – α) + (2α + 1)y + (2α + 2) = α; { αx + αy = 2α + 2; {2x + (α + 1)y + (α – 1)= α2 - 2α + 9. Donde α es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
c) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos).
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas
c) Los valores de α para los que el sistema sea compatible determinado.
La matriz con los coeficientes queda:
( α α 0 | (2α + 2) )
((1-α) (2α + 1) (2α + 2) | α )
( 2 (α + 1) (α – 1) |α^2 - 2α + 9)
Operaciones:
F1 = F1/α
F2 = F2 – (1 – α)F1
F3 = F3 – 2F1
F3 = F3/(α – 1)
F2 = F2/3α
F3 = F3 – F2
F1 = F1 – F2
F1 = F1 + (3α + 1)F3/3α
F2 = F2 – (3α + 1)F3/3α
El resultado es:
(1 0 0| A)
(0 1 0| B)
(0 0 1| C)
Dónde:
X=A= 3α(3α^2 + 6α + 2)(α^2 – α)+(3α + 1)(3α^2)(-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / 9α^3(α^2 – 2α)
Y=B= 3α(3α^2 - 2)(α^2 – α) - (3α + 1)(3α^2)(-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / 9α^3(α^2 – 2α)
Z = C = (-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / (α^2 – 2α)
En estas soluciones se estudian los denominadores para obtener los valores de α que hacen que el sistema sea indeterminado.
Denominador:
9α^3(α^2 – 2α) ≠ 0
α1 ≠ 0
α2 ≠ 2
El sistema es determinador para todos los números reales excepto el 0 y el 2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.