Question

Problema B.2. Se dan las rectas s r ={ (x – y + 3 = 0) (2x – z + 2 = 0) y s ={ (3y + 1 = 0) (x – 2z – 3 = 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. (3 puntos)
b) La recta t que pasa por el punto ( 0,0,0 ), sabiendo que un vector director de t es perpendi– cular a un vector director de r y también es perpendicular a un vector director de s. (3 puntos)
c) Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la recta r. (4 puntos).

PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II

Answer 1

a)      El plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r.

 

Se transforman las rectas r y s en su forma paramétrica.

 

Para r:

 

X = λ1

 

Y = λ1 + 3

 

Z = 2λ1 + 2

 

r: λ1(1, 1, 2) + (0, 3, 2)

 

Para s:

 

X = 2λ2 + 3

 

Y = -1/3

 

Z = λ2

 

s: λ2(2, 0, 1) + (3, -1/3, 0)

 

Si las rectas pueden ser contenidas en un mismo plano, ambas deben o ser paralelas o interceptarse en un punto.

 

Verificar paralelismo:

 

(1, 1, 2) = β(2, 0, 1)

 

β = 1/2 = ∞ = 2

 

Como los valores de β no coinciden, las rectas no son paralelas.

 

Verificar intercepción:

 

Las rectas deben coincidir en un punto.

 

2λ2 + 3 = λ1   (1)

 

λ1 + 3 = -1/3   (2)

 

2λ1 + 2 = λ2    (3)

 

De la ecuación 2 se tiene que λ1 = -10/3.

 

Los valores de λ2 son -19/6 o -14/3.

 

Pr (-10/3, -1/3, -14/3)

 

Ps1 (-10/3, -1/3, -19/6)

 

Ps2(-19/3, -1/3, -14/3)

 

Como las rectas r y s no tienen punto de intersección, se  concluye que no existe un plano paralelo a s y que contenga a r.

 

b)      La recta t que pasa por el punto (0, 0, 0), sabiendo que el vector director de t es perpendicular al vector director de r y también es perpendicular al vector director de s.

 

Si el vector director de t es perpendicular a r y s al mismo tiempo, entonces quiere decir que el director de t es el resultado del producto vectorial de los directores de r y s.

 

Vdt = Vdr x Vds = (1, 1, 2) x (2, 0, 1)

 

Vdt = (1, 3, -2)

 

La recta t es:

 

t: λ(1, 3, -2) + (0, 0, 0)

 

c)       Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la recta r.

 

Si el plano es perpendicular a la recta s, su normal entonces será el vector director de la recta, es decir:

 

N = Vds = (2, 0, 1)

 

De existir un plano perpendicular a s y que contenga a r, se puede demostrar que el vector director de la recta r y la normal del plano deben ser perpendiculares, esto se verifica con el producto escalar.

 

N o Vdr = |N| * |Vdr| * Cos(σ)

 

|N| = √2^2 + 0^2 + 1^2 = √5

 

|Vdr| = √1^2 + 1^2 + 2^2 = √6

 

(2, 0, 1) o (1, 1, 2) = √5 * √6 * Cos(σ)

 

2 + 2 = √5 * √6 * Cos(σ)

 

4/√30 = Cos(σ)

 

σ = ArcCos(4/√30) = 43,09 º

 

El ángulo entre el vector normal del supuesto plano y el director de la recta r no son perpendiculares, por lo tanto es imposible encontrar un plano perpendicular a s y que contenga a r.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.