Question

Pregunta 1B.- Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de 3500 km y el planeta B un radio de 3000 km. Calcule:

a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta.

b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta
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Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Física.

Answer 1

a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta.

 

La ecuación que rige la gravedad en los planetas es:

 

g = G*M/R^2

 

Aplicada la ecuación para los planetas A y B:

 

ga = G*Ma/Ra^2

 

gb = G*Mb/Rb^2

 

Relacionando ambas gravedades se tiene que:

 

ga/gb = Ma*Rb^2 / Mb*Ra^2

 

Como ambos planetas tienen la misma densidad, se igualan las densidades:

 

Da = Db

 

Ma/Va = Mb/Vb

 

Ma/(4π*Ra^3) = Mb/(4π*Rb^3)

 

Ma/Mb = Ra^3/Rb^3

 

Sustituyendo estos valores en la relación entre gravedades se tiene que:

 

ga/gb = Ra^3*Rb^2 / Rb^3*Ra^2 = Ra/Rb

 

Sustituyendo los valores:

 

ga/gb = 3500/3000 = 7/6

 

ga = 7gb/6

 

b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta.

 

Cuando se logra la velocidad de escape se cumple que la energía mecánica es nula, por lo tanto:

 

Em = 0

 

Ec + Ep = 0

 

m*V^2/2 – G*M*m/R = 0

 

Despejando V:

 

V = √2*G*M/R

 

Aplicando la ecuación tanto para el planeta a como para el planeta b:

 

Va = √2*G*Ma/Ra

 

Vb = √2*G*Mb/Rb

 

Relacionando las velocidades:

 

Va/Vb = (√2*G*Ma/Ra) / (√2*G*Mb/Rb) = √Ma*Rb/Mb*Ra

 

Sustituyendo la relación conseguida en el apartado anterior:

 

Ma/Mb = Ra^3/Rb^3

 

Sustituyendo en la relación entre velocidades:

 

Va/Vb = √Ra^3*Rb / Rb^3*Ra = Ra/Rb = 3500/3000 = 7/6

 

Va = 7Vb/6

 

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Física.