Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la función f(x) = e^(1/x), se pide:

a) (1 punto) Calcular lím x→+∞f(x), lím x→−∞f(x) y estudiar la existencia de límx→0f(x).

b) (1 punto) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de f(x) y sus asíntotas.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Respuestas

Respuesta dada por: O2M9
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a) Calcular lím x→+∞f(x), lím x→−∞f(x) y estudiar la existencia de límx→0f(x).

 

Se calculan los límites:

 

lím x→+∞ [e^(1/x)] = 1

 

lím x→−∞ [e^(1/x)] = 1

 

Para conocer si existe lím x ->0 f(x), se deben evaluar los límites laterales y comprobar que son iguales:

 

lím x ->0- [e^(1/x)] = 0

 

lím x ->0+ [e^(1/x)] = ∞

 

Como lím x ->0- f(x) ≠ lím x ->0+ f(x) se concluye que el lím x ->0 f(x) no existe.

 

b) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus asíntotas.

 

En primera instancia se determinan las asíntotas:

 

Primero se estudiarán las asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente:

 

X = C y Lím x -> a f(x) = ±∞

 

El evalúa el dominio de la función:

 

D = R – {0}

 

Se calcula el límite de la función para X = 0.

 

Para conocer si existe lím x ->0 f(x), se deben evaluar los límites laterales y comprobar que son iguales:

 

lím x ->0- [e^(1/x)] = 0

 

lím x ->0+ [e^(1/x)] = ∞

 

f(x) posee una asíntota vertical cuando se acerca por la derecha.

 

Ahora se calculan las asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que:

 

f(x) = C y Lím x -> ±∞ f(x) = K

 

Evaluando el límite:

 

Lím x -> ±∞ [e^(1/x)] = 1

 

Existe una asíntota horizontal en f(x) = 1

 

Al existir asíntota horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota oblicua.

 

Ahora se estudia es crecimiento y decrecimiento de la función:

 

Primero se determina la derivada de la función:

 

f’(x) = -e^(1/x) / x^2

 

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento se evalúa de modo que f’(x) >0 (crece) y f’(x) < 0 (decrece).

 

Para el intervalo (-∞, 0):

 

f’(-1) = -0,37 < 0 (decrece)

 

Para el intervalo (0, ∞):

 

f’(1) = -2,72 < 0 (decrece)

 

La función final está en la imagen adjunta.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

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