Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función f(x) = e^(1/x), se pide:
a) (1 punto) Calcular lím x→+∞f(x), lím x→−∞f(x) y estudiar la existencia de límx→0f(x).
b) (1 punto) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de f(x) y sus asíntotas.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
a) Calcular lím x→+∞f(x), lím x→−∞f(x) y estudiar la existencia de límx→0f(x).
Se calculan los límites:
lím x→+∞ [e^(1/x)] = 1
lím x→−∞ [e^(1/x)] = 1
Para conocer si existe lím x ->0 f(x), se deben evaluar los límites laterales y comprobar que son iguales:
lím x ->0- [e^(1/x)] = 0
lím x ->0+ [e^(1/x)] = ∞
Como lím x ->0- f(x) ≠ lím x ->0+ f(x) se concluye que el lím x ->0 f(x) no existe.
b) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus asíntotas.
En primera instancia se determinan las asíntotas:
Primero se estudiarán las asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente:
X = C y Lím x -> a f(x) = ±∞
El evalúa el dominio de la función:
D = R – {0}
Se calcula el límite de la función para X = 0.
Para conocer si existe lím x ->0 f(x), se deben evaluar los límites laterales y comprobar que son iguales:
lím x ->0- [e^(1/x)] = 0
lím x ->0+ [e^(1/x)] = ∞
f(x) posee una asíntota vertical cuando se acerca por la derecha.
Ahora se calculan las asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que:
f(x) = C y Lím x -> ±∞ f(x) = K
Evaluando el límite:
Lím x -> ±∞ [e^(1/x)] = 1
Existe una asíntota horizontal en f(x) = 1
Al existir asíntota horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota oblicua.
Ahora se estudia es crecimiento y decrecimiento de la función:
Primero se determina la derivada de la función:
f’(x) = -e^(1/x) / x^2
Para estudiar el crecimiento y decrecimiento se evalúa de modo que f’(x) >0 (crece) y f’(x) < 0 (decrece).
Para el intervalo (-∞, 0):
f’(-1) = -0,37 < 0 (decrece)
Para el intervalo (0, ∞):
f’(1) = -2,72 < 0 (decrece)
La función final está en la imagen adjunta.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
