Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la función f(x) = x/(x^2 + 1)
se pide:

a) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

b) (1 punto) Calcular ∫x f(x) dx desde 0 hasta 1.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Answer 1

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

 

La ecuación de la recta tangente a un punto es:

 

[Y – f(a)] = f’(a)*(x – a)

 

Se evalúa la función en x = 0.

 

a = 0

 

f(0) = 0/(0^2 + 1 ) = 0

 

Se deriva la función:

 

f’(x) = (1 – x^2) / (x^2 + 1)^2

 

Evaluando f’(0):

 

f’(0) = (1 – 0^2) / (0^2 + 1)^2 = 1

 

Sustituyendo los valores en la ecuación:

 

Y – 0 = (1)*(x – 0)

 

Y = X

 

b) Calcular ∫x f(x) dx desde 0 hasta 1.

 

Se escribe la integral para comenzar la resolución:

 

∫[x* x/(x^2 + 1)] dx

 

∫[x^2/(x^2 + 1)] dx

 

x^2 / (x^2 + 1) = 1 – [1/(1 + x^2)]

 

Sustituyendo:

 

∫dx – ∫[1/(1 + x^2)] dx

 

Las primitivas son:

 

X – Arctg(X)

 

Se evalúan los límites de integración:

 

1 – 0 + Arctg(1) – Arctg(0) = (4 – π)/4

 

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.