Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función f(x) = x/(x^2 + 1)
se pide:
a) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
b) (1 punto) Calcular ∫x f(x) dx desde 0 hasta 1.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
La ecuación de la recta tangente a un punto es:
[Y – f(a)] = f’(a)*(x – a)
Se evalúa la función en x = 0.
a = 0
f(0) = 0/(0^2 + 1 ) = 0
Se deriva la función:
f’(x) = (1 – x^2) / (x^2 + 1)^2
Evaluando f’(0):
f’(0) = (1 – 0^2) / (0^2 + 1)^2 = 1
Sustituyendo los valores en la ecuación:
Y – 0 = (1)*(x – 0)
Y = X
b) Calcular ∫x f(x) dx desde 0 hasta 1.
Se escribe la integral para comenzar la resolución:
∫[x* x/(x^2 + 1)] dx
∫[x^2/(x^2 + 1)] dx
x^2 / (x^2 + 1) = 1 – [1/(1 + x^2)]
Sustituyendo:
∫dx – ∫[1/(1 + x^2)] dx
Las primitivas son:
X – Arctg(X)
Se evalúan los límites de integración:
1 – 0 + Arctg(1) – Arctg(0) = (4 – π)/4
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.