Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.

Sean rA la recta con vector dirección (1, λ, 2) que pasa por el punto A(1, 2, 1), rB la recta con vector
dirección (1, 1, 1) que pasa por B(1, −2, 3), y rC la recta con vector dirección (1, 1, −2) que pasa por
C(4, 1, −3). Se pide:

a) (1 punto) Hallar λ para que las rectas rA y rB se corten.

b) (1,5 puntos) Hallar λ para que la recta rA sea paralela al plano definido por rB y rC .

c) (0,5 puntos) Hallar el ángulo que forman rB y rC .

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Answer 1

a) Hallar λ para que las rectas rA y rB se corten.

 

Las condiciones para que las rectas a y B se corten son, en primer lugar que el rango de la matriz formada por los vectores directores de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta sea igual a 2 y en segundo lugar los vectores directores no debe ser uno linealmente dependiente del otro.

 

Cumpliendo con la primera condición se tiene que:

 

VdA = (1, λ, 2)

 

VdB = (1, 1, 1)

 

AB = B – A = (1, −2, 3) - (1, 2, 1) = (0, -4, 2)

 

Ahora se procede a determinar el rango de la matriz formada por estos tres vectores:

 

            (1  λ  2)

Rango (1  1  1) => Det = 0

           (0  -4  2)

 

          |1  λ  2|

Det = |1  1  1| = (1)(2 + 4) – (λ)(2) + (2)(-4) = 0 => λ = -1

         |0  -4  2|

 

Si λ ≠ -1, Det ≠ 0 => Rango = 3 (No cumple con la condición)

 

Si λ = -1, Det = 0 => Rango = 2 (Cumple con la condición)

 

Se sustituye λ = -1 porque es el que cumple con la primera condición:

 

VdA = (1, -1, 2)

 

VdB = (1, 1, 1)

 

VdA ≠ α*VdB

 

Con eso se verifica el cumplimiento de la segunda condición y asegura que las rectas A y B se corten.

 

b) Hallar λ para que la recta rA sea paralela al plano definido por rB y rC .

 

Primero se debe encontrar la normal del plano formado por rB y rC.

 

N = VdB x VdC = (1, 1, 1) x (1, 1, −2) = (-3, 3, 0)

 

La condición para que el plano formado por rB y rC sea paralelo a rA es que VdA ┴ N.

 

VdA o N = 0

 

(1, λ, 2) o (-3, 3, 0) = 0

 

-3 + 3λ = 0

 

λ = 1

 

c) Hallar el ángulo que forman rB y rC .

 

El ángulo formado por rB y rC es el ángulo formado por VdB y VdC, determinándose este mediante un producto escalar:

 

VdB o VdC = |VdB| * |VdC| * Cos(α)

 

|VdB| = √1^2 + 1^2 + 1^2 =√3

 

|VdC| = √1^2 + 1^2 + (-2)^2 = √6

 

Sustituyendo los valores:

 

(1, 1, 1) o (1, 1, −2) = √3 * √6 * Cos(α)

 

1 + 1 – 2 = √18 * Cos(α)

 

α = 90º

 

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.