Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dados el punto P(1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera que es tangente al plano
π en un punto P′ de modo que el segmento P P′ es uno de sus diámetros. Se pide:
.
b) (1 punto) Hallar la ecuación de S.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
b) Hallar la ecuación de S.
La ecuación de una superficie esférica es:
R^2 = (X – Xc)^2 + (Y – Yc)^2 + (Z – Zc)^2
Las coordenadas del centro son (Xc, Yc, Zc) y su radio es R.
Para determinar el centro de la superficie esférica hay que encontrar el punto medio del vector PP’.
C (Xp + Xp’/2, Yp + Yp’/2, Zp + Zp’/2)
C (1+0/2, 2+0/2, -1+1/2)
C (1/2, 1, 0)
Ahora para determinar el radio hay que dividir entre 2 la distancia del vector PP’.
PP’ = P’ – P = (0, 0, 1) – (1, 2, −1) = (-1, -2, 2)
|PP’| = √(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 3
R = |PP’|/2 = 3/2
Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación de la superficie esférica se tiene que:
(3/2)^2 = (X – 1/2)^2 + (Y – 1)^2 + Z^2
X^2 + Y^2 + Z^2 –X – 2Y – 2 = 0
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.