Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Dados el punto P(1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera que es tangente al plano
π en un punto P′ de modo que el segmento P P′ es uno de sus diámetros. Se pide:
a) (1 punto) Hallar el punto de tangencia P′
.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas
a) Hallar el punto de tangencia P′.
Para determinar el punto de tangencia P’ se debe interceptar la recta formada por PP’ con el plano π.
Casualmente se tiene que la normal del plano es el vector director de la recta PP’, por lo tanto se tiene que:
Nπ = (1, -2, 2) =Vd
Con el vector director y con el punto P es posible definir la recta:
(x, y, z) = (1, 2, -1) + λ(1, -2. 2)
Las coordenadas del punto P’ serían:
P’ (1 + λ, 2 - 2λ, -1 + 2λ)
Ya que el punto pertenece al plano, se sustituyen sus coordenadas en la ecuación de π:
π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0
1 + λ + 2(2 - 2λ) – 2(-1 + 2λ) + 2 = 0
λ = -1
Se sustituye el valor de λ en las coordenadas de P’.
P’ (1 - 1, 2 – 2(-1), -1 + 2(-1))
P’ (0, 0, 1)
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.