Question

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dados el punto P(1, 0, −1), el plano π ≡ 2x − y + z + 1 = 0, y la recta r ≡ { −2x + y − 1 = 0 , 3x − z − 3 = 0 , se pide: a) (1,5 puntos) Determinar la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a la recta r y perpendicular al plano π. b) (0,5 puntos) Hallar el ´ángulo entre r y π. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II. Por favor

Answer 1

Esta es la respuesta del ejercicio 4 de la prueba de selectividad de la comunidad de Madrid, convocatoria Jun 2012 - 2013 de Matemática II:

Dados los puntos P(1,0,-1), el plano π≡ 2x - y + z = 0 y la recta:

r ≡   -2x - y - 1 = 0           3x - z - 3 = 0

a) Determinamos cual es la ecuación del plano que pasa por P que es paralelo a r y perpendicular al plano π

r ≡   $u_{r} = (1,2,3)$        Pr(0,1,-3)

r ≡   x = λ        y = 1 + 2λ     z = -3 + 3λ

π':  $u_{r} = (1,2,3)$        $u_{ \pi } = (2,-1,1)$     P(1,0,-1)

Usando el producto cruz,

π':  $\left[\begin{array}{ccc}1&2&x-1\\2&-1&y\\3&1&z+1\end{array}\right]$

La ecuación del plano es:

π':  x + y - z = 2

b) Hallamos el ángulo entre r y π

sen α = $\frac{ u_{r} u_{ \pi }}{|u_{r} | |u_{ \pi }|}$ = $\frac{3}{ \sqrt{84} }$

α =  $sen^{-1} \frac{3}{ \sqrt{84} } =$  19 ° 6' 24''