Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:
(5 sen x/(2x)) + 1/2, si x < 0 ,
f(x) = a , si x = 0 ,
xe^x + 3 , si x > 0 ,
se pide:


b) (1 punto) Decidir si la funcion es derivable en x = 0 para algún valor de a.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Ayuda por favor

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 2 parte B de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014 de Matemáticas II:

Para decidir si la función f(x) es derivable para algún valor de a en x = 0 entonces solo lo sería para a = 3 mientras que para cualquier otro valor de x la función sería discontinua y en consecuencia no derivable.

Para que una función sea derivable en un punto debe serlo tanto por la derecha como por la izquierda de la función (f'(0⁻) = f'(0⁺)):

f'(0⁻)  = $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{5sen(0+h)}{2(0+h)} + \frac{1}{2} - 3}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{5sen(h) - 5h}{2h^{2}}$

f'(0⁻) = $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{5cos(h)-5}{4h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{5cos(h)}{4} = 0$

f'(0⁺) = $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(0+h) e^{0+h} +3 -3)}{h} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{h e^{h}}{y} = 1$

f'(0⁻) ≠ f'(0⁺)  ⇒ ∴ la función no es derivable en el punto x = 0