Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:
(5 sen x/(2x)) + 1/2, si x < 0 ,
f(x) = a , si x = 0 ,
xe^x + 3 , si x > 0 ,
se pide:

a) (1 punto) Hallar, si existe, el valor de a para que f(x) sea continua.


Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Alguien sabe

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 2 parte A de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014 de Matemáticas II:

Para la siguiente función f(x):

$\frac{5senx}{2x}$ +  $\frac{1}{2}$       x < 0
 
        $a$                                                              x = 0
 
      $x e^{x} + 3$                                                x > 0

Realizamos un análisis para conocer si existe un valor de a tal que la función f(x) sea continua, para esto revisamos los limites en los posibles puntos de discontinuidad, que en nuestro caso sería x = 0.

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{5senx}{2x} + \frac{1}{2} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{10senx + 2x}{4x} = \frac{0}{0}$    forma indeterminada

Usando la regla de L'Hopital:

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{10senx + 2x}{4x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{10cosx + 2}{4} = 3$

$\lim_{x \to 0^{+}} x e^{x} + 3 = 3$

∴ Como el limite existe, la función f(x) es continua