Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(1, 0, 1), el plano π ≡ x + 5y − 6z = 1, y la recta r ≡ { x = 0 , z = 0 , se pide:
a) (1 punto) Calcular el punto P ′ simétrico a P respecto de π.
b) (1 punto) Hallar la distancia de P a r. c) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y las intersecciones de π con los ejes coordenados OX, OY y OZ. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

ps tendria salir  por mis calculos 196

Answer 2

a) Calcular el punto P ′ simétrico a P respecto de π.

 

El punto simétrico de P con respecto a π es P’ y su punto medio está contenido en el plano, a este punto se le conocerá como A y se determina de la siguiente forma:

 

La dirección del vector MP es la misma que la normal de π (1, 5, -6) y contiene al punto P, por lo tanto el punto M viene dado como:

 

M (1 + α, 5α, 1 - 6α)

 

Ahora se sustituye el punto en el plano:

 

1 + α + 5(5α) – 6(1 - 6α) = 1

 

α = 3/31

 

Sustituyendo α se tiene que M es:

 

M (34/31, 15/31, 13/31)

 

Como M es el punto medio del vector PP’. Se tiene que las coordenadas de P’ son:

 

Xm = Px + P’x / 2

 

34/31 = 1 + P’x / 2

 

P’x = 37/31

 

Ym = Py + P’y / 2

 

15/31 = 0 + P’y / 2

 

P’y = 30/31

 

Zm = Pz + P’z / 2

 

13/31 = 1 + P’z / 2

 

P’z = -5/31

 

Por lo tanto P’ es:

 

P’ (37/31, 30/31, -5/31)

 

b) Hallar la distancia de P a r.

 

La ecuación de la recta r viene dada por:

 

(x, y, z) = α(0, 0, 1) + (0, 0, 0)

 

Se toma como punto el origen ya que el vector director es el eje Z.

 

Ahora se aplica la ecuación de la distancia entre una recta y un punto:

 

D = |AP x u| / |u|

 

Dónde:

 

AP es el vector que se forma entre el punto P y A.

 

u es el vector director de la recta.

 

AP = P – A = (1, 0, 1) – (0, 0, 0) = (1, 0, 1)

 

u = (0, 0, 1)

 

|u| = √0^2 + 0^2 + 1^2 = 1

 

                ( i j k )

AP x u =  (1 0 1)

                (0 0 1)

 

AP x u = (0 – 0)(i) – (1 – 0)(j) + (0 – 0)(k)

 

AP x u = - j

 

|AP x u| = 1

 

Aplicando la ecuación:

 

D = 1/1 = 1

 

La distancia entre P y r es de 1

 

c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y las intersecciones de π con los ejes coordenados OX, OY y OZ.

 

Primero hay que conocer el corte del plano con cada uno de los ejes.

 

Para el eje X se hacen nulo a Y y Z en la ecuación del plano.

 

x = 1

 

Para Y se hacen cero X y Z.

 

5y = 1

 

y = 1/5

 

Para Z se hacen cero X y Y.

 

-6z = 1

 

z = - 1/6

 

Ahora se aplica la ecuación del volumen.

 

V = |X o (Y x Z)| / 6

 

Si se desarrolla se tiene que:

 

       (1   0     0)

V = (0 1/5    0) = |(1)*[1/5 * (-1/6)]| / 6 = 1/180 u^3

       (0  0 -1/6)

 

PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II.