Question

Ubicar el punto o los puntos que disten 1 cm de dos rectas perpendiculares

Answer 1

1.- Método C. Puedes determinar la ecuación de la mediatriz de una forma más simple suponiendo que es una recta que pasa por el punto medio de los dos dados y es perpendicular al vector que los une, si denominamos ambos puntos por a(-5, 6) y b(3, 2) y por p(x, y) un punto de cualquiera de la mediatriz, tenemos que el punto medio de a y b es:

m(-1, 4) = (a + b)/2

y la ecuación de la mediatriz viene dada entonces por la condición:

(p - m) · (b - a) = 0

que expresa que ambos vectores son perpendiculares. Substituyendo y simplificando resulta que dicha ecuación es:

(x + 1, y - 4)·(8, -4) = 0      ó lo que es igual      2x - y + 6 = 0

la intersección de esta recta con la dada en el enunciado es la solución al problema, punto que es la solución a su vez del sistema de ecuaciones:

2x - y + 6 = 0
3x + y + 4 = 0

y que se corresponde con solución(-2, 2)

2.- Método B. El lugar geométrico de todos los puntos que distan 3 de la segunda recta es un par de rectas paralelas cuyo eje coincide precisamente con la segunda recta del enunciado, y cuya ecuación viene dada por:

(3x + 4y - 12)²/(3² + 4²) = 3²    ó bien  (3x + 4y - 12)² = 225    


que se desdobla en dos rectas:

3x + 4y - 27 = 0        3x + 4y + 3 = 0

La intersección de cada una de ellas con la primera recta del enunciado se corresponde con cada uno de los puntos buscados:

el primero es solución del sistema de ecuaciones:

3x + 4y - 27 = 0
5x - 12y + 5 = 0

punto1(38/7, 75/28)

el segundo punto buscado es solución del sistema de ecuaciones:

3x +  4y + 3 = 0
5x - 12y + 5 = 0

punto2(-1, 0)