Question

Determine la máxima derivada direccional de f en P y la dirección en la que ocurre, (SOLO LA QUE ESTA EN AMARILLO)

Answer 1

La derivada direccional máxima es $5e^2$, y ocurre en la dirección del vector (2,1).

Explicación paso a paso:

Como la función es diferenciable (al ser una función exponencial, diferenciable en todo punto), podemos calcular la derivada direccional en función del gradiente:

$D_{\bar{v}}f=\nabla f.\bar{v}$

Donde el gradiente es el vector formado por las derivadas parciales de la función $f(x,y)=e^{xy}$:

$\nabla f=(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy})=(y.e^{xy},x.e^{xy})$

Si el vector que determina la dirección de la derivada es v=(u,w) queda:

$D_{\bar{v}}.f(x,y)=(y.e^{xy},x.e^{xy}).(u,w)=e^{xy}(y,x).(u,w)$

Queda que la derivada direccional es directamente proporcional al producto escalar (y,x).(u,w). Dicho producto escalar es máximo cuando los dos vectores son paralelos. Por lo que queda:

$D_{\bar{v}}.f(1,2)=e^{1.2}(2,1).(u,w)\\\\(2,1)//(u,w)=>(u,w)=(2,1)\\\\D_{\bar{v}}.f(1,2)=e^2(2,1).(2,1)=e^2(2.2+1.1)=5e^2$