Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f(x) = (sen x x , si x < 0 , xex + 1 , si x ≥ 0 , se pide:
a) (1 punto) Estudiar la continuidad de f.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor
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Respuesta dada por:
2
El ejercicio 2a de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II pide estudiar la continuidad de la siguiente función:
![f(x) = \left \{ {{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }} \right. f(x) = \left \{ {{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bx%7D++%5C%5C+%5C%5C+x%5C+%5Ctextless+%5C+0%7D+%5Catop+%7Bx+e%5E%7Bx%7D+%2B+1++x+%5Cgeq+0+%7D%7D+%5Cright.+)
Para estudiar la continuidad de cualquier función es necesario estudiar los limites tanto por la derecha como por la izquierda en los posibles puntos de discontinuidad que esta tenga.
Para
el punto de discontinuidad es x = 0:
Calculamos los limites:
*
forma indeterminada
Aplicando regla de L'Hopital, derivamos tanto en numerador como denominador:
![\lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{cosx}{1} = cos (0) = 1 \lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{cosx}{1} = cos (0) = 1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%5E%7B-%7D+%7D+%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bx%7D+%3D++%5Clim_%7Bx+%5Cto++0%5E%7B-%7D+%7D++%5Cfrac%7Bcosx%7D%7B1%7D+%3D+cos+%280%29+%3D+1+)
*![\lim_{x \to 0^{+} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } (x e^{x} + 1) = 1 \lim_{x \to 0^{+} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } (x e^{x} + 1) = 1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%5E%7B%2B%7D+%7D+f%28x%29+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%5E%7B-%7D+%7D+%28x+e%5E%7Bx%7D+%2B+1%29+%3D+1++)
∴ La función f(x) es continua en x = 0, y por lo tanto en todo el dominio de los números reales.
Para estudiar la continuidad de cualquier función es necesario estudiar los limites tanto por la derecha como por la izquierda en los posibles puntos de discontinuidad que esta tenga.
Para
Calculamos los limites:
*
Aplicando regla de L'Hopital, derivamos tanto en numerador como denominador:
*
∴ La función f(x) es continua en x = 0, y por lo tanto en todo el dominio de los números reales.
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