Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f(x) = (sen x x , si x < 0 , xex + 1 , si x ≥ 0 , se pide:
a) (1 punto) Estudiar la continuidad de f.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor

Answer 1

El ejercicio 2a de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II pide estudiar la continuidad de la siguiente función:

$f(x) = \left \{ {{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }} \right.$

Para estudiar la continuidad de cualquier función es necesario estudiar los limites tanto por la derecha como por la izquierda en los posibles puntos de discontinuidad que esta tenga.

Para $\frac{senx}{x}$ el punto de discontinuidad es x = 0: 

Calculamos los limites:

* $\lim_{x \to 0^{-} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \frac{0}{0}$   forma indeterminada

Aplicando regla de L'Hopital, derivamos tanto en numerador como denominador:

$\lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{cosx}{1} = cos (0) = 1$

* $\lim_{x \to 0^{+} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } (x e^{x} + 1) = 1$

∴ La función f(x) es continua en x = 0, y por lo tanto en todo el dominio de los números reales.