Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f(x) = (sen x x , si x < 0 , xex + 1 , si x ≥ 0 , se pide:
b) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f 0 donde sea posible.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor
Respuestas
Respuesta dada por:
1
El ejercicio nos da la siguiente función:
![f(x) = \left \{
{{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }}
\right. f(x) = \left \{
{{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }}
\right.](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+%5Cleft+%5C%7B%0A%7B%7B+%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bx%7D+%5C%5C+%5C%5C+x%5C+%5Ctextless+%5C+0%7D+%5Catop+%7Bx+e%5E%7Bx%7D+%2B+1+x+%5Cgeq+0+%7D%7D%0A%5Cright.+)
Para estudiar la derivabilidad de la función f(x), calculamos la derivada en cada uno de sus segmentos:
![f'(x) = \left \{ {{ \frac{xcosx - senx}{ x^{2} } x\ \textless \ 0 } \atop { e^{x} + x e^{x} x \geq 0}} \right. f'(x) = \left \{ {{ \frac{xcosx - senx}{ x^{2} } x\ \textless \ 0 } \atop { e^{x} + x e^{x} x \geq 0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29+%3D++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Cfrac%7Bxcosx+-+senx%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D++x%5C+%5Ctextless+%5C+0+%7D+%5Catop+%7B+e%5E%7Bx%7D+%2B+x+e%5E%7Bx%7D++x+%5Cgeq+0%7D%7D+%5Cright.+)
Después, querremos conocer la existencia de la derivada en los posibles puntos de discontinuidad, que en este caso sería x = 0, tanto por la derecha como por la izquierda de la función:
f'(0⁺) =![e^{0} + 0. e^{0} = 1 e^{0} + 0. e^{0} = 1](https://tex.z-dn.net/?f=+e%5E%7B0%7D++%2B+0.+e%5E%7B0%7D+%3D+1+)
f'(0⁻) =
forma indeterminada
Aplicamos regla de L'Hopital tantas veces sea necesario:
![\lim_{h \to 0^{-} } \frac{cos(h) - 1}{ 2h} = \frac{0}{0} \lim_{h \to 0^{-} } \frac{cos(h) - 1}{ 2h} = \frac{0}{0}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bh+%5Cto+0%5E%7B-%7D+%7D+%5Cfrac%7Bcos%28h%29+-+1%7D%7B+2h%7D+%3D++%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D++)
f'(0⁻) =![\lim_{h \to 0^{-} } \frac{-sen(h)}{ 2} = 0 \lim_{h \to 0^{-} } \frac{-sen(h)}{ 2} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bh+%5Cto+0%5E%7B-%7D+%7D+%5Cfrac%7B-sen%28h%29%7D%7B+2%7D+%3D+0++)
Como f'(0⁺) ≠ f'(0⁻) ∴ f(x) no es derivable en el punto x = 0 y la función es derivable en R - {0}
Esta es la solución al ejercicio 2 b) de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 Matematica II
Para estudiar la derivabilidad de la función f(x), calculamos la derivada en cada uno de sus segmentos:
Después, querremos conocer la existencia de la derivada en los posibles puntos de discontinuidad, que en este caso sería x = 0, tanto por la derecha como por la izquierda de la función:
f'(0⁺) =
f'(0⁻) =
Aplicamos regla de L'Hopital tantas veces sea necesario:
f'(0⁻) =
Como f'(0⁺) ≠ f'(0⁻) ∴ f(x) no es derivable en el punto x = 0 y la función es derivable en R - {0}
Esta es la solución al ejercicio 2 b) de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 Matematica II
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