Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f(x) = (sen x x , si x < 0 , xex + 1 , si x ≥ 0 , se pide:
b) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f 0 donde sea posible.

PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Por favor

Answer 1

El ejercicio nos da la siguiente función:

$f(x) = \left \{ {{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }} \right.$

Para estudiar la derivabilidad de la función f(x), calculamos la derivada en cada uno de sus segmentos:

$f'(x) = \left \{ {{ \frac{xcosx - senx}{ x^{2} } x\ \textless \ 0 } \atop { e^{x} + x e^{x} x \geq 0}} \right.$

Después, querremos conocer la existencia de la derivada en los posibles puntos de discontinuidad, que en este caso sería x = 0, tanto por la derecha como por la izquierda de la función:

f'(0⁺) = $e^{0} + 0. e^{0} = 1$

f'(0⁻) = $\lim_{h \to \ 0^{-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{ \frac{sen(h)}{h} - 1 }{h} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{sen(h) - h}{ h^{2} } = \frac{0}{0}$  forma indeterminada

Aplicamos regla de L'Hopital tantas veces sea necesario:

$\lim_{h \to 0^{-} } \frac{cos(h) - 1}{ 2h} = \frac{0}{0}$
f'(0⁻) = $\lim_{h \to 0^{-} } \frac{-sen(h)}{ 2} = 0$

Como f'(0⁺)  ≠ f'(0⁻) ∴ f(x) no es derivable en el punto x = 0 y la función es derivable en R - {0}

Esta es la solución al ejercicio 2 b) de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 Matematica II