Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f(x) = (sen x x , si x < 0 , xex + 1 , si x ≥ 0 , se pide:
a) (1 punto) Estudiar la continuidad de f.
b) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f 0 donde sea posible.
c) (1 punto) Calcular Z 3 1 f(x) dx.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Muchs gracias

Answer 1

Aquí te va la respuesta al ejercicio 2 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II:

Te indican que dada esta función:

$f(x) = \left \{ {{ \frac{senx}{x} \\ \\ x\ \textless \ 0} \atop {x e^{x} + 1 x \geq 0 }} \right.$

a) Para conocer si cualquier función es continua, se deben estudiar los limites por la derecha y por la izquierda de dicha función, solo en los puntos donde se sospeche la función puede ser discontinua.  

Para $\frac{senx}{x}$ el punto de discontinuidad es x = 0: 

Calculamos cuales son los limites:

* $\lim_{x \to 0^{-} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \frac{0}{0}$   forma indeterminada

Usamos la herramienta de la regla de L'Hopital, derivando tanto en numerador como denominador:

$\lim_{x \to 0^{-} } \frac{senx}{x} = \lim_{x \to 0^{-} } \frac{cosx}{1} = cos (0) = 1$

* $\lim_{x \to 0^{+} } f(x) = \lim_{x \to 0^{-} } (x e^{x} + 1) = 1$

∴ La función f(x) es continua en x = 0, y por lo tanto en todo el dominio de los números reales. 

b) Para poder conocer la derivabilidad de la función f(x), se tiene que calcular la derivada en cada uno de sus segmentos que componen la función:

$f'(x) = \left \{ {{ \frac{xcosx - senx}{ x^{2} } x\ \textless \ 0 } \atop { e^{x} + x e^{x} x \geq 0}} \right.$

Ahora para  saber si la derivada existe en los posibles puntos de discontinuidad (x = 0), tanto por la derecha como por la izquierda de la función:

f'(0⁺) = $e^{0} + 0. e^{0} = 1$

f'(0⁻) = $\lim_{h \to \ 0^{-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{ \frac{sen(h)}{h} - 1 }{h} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{sen(h) - h}{ h^{2} } = \frac{0}{0}$  forma indeterminada

Usamos la regla de L'Hopital de nuevo: 

$\lim_{h \to 0^{-} } \frac{cos(h) - 1}{ 2h} = \frac{0}{0}$
f'(0⁻) = $\lim_{h \to 0^{-} } \frac{-sen(h)}{ 2} = 0$

f'(0⁺)  ≠ f'(0⁻) ∴ f(x) no es derivable en x = 0 y la función es derivable en R - {0}

c) Para calcular la integral definida de f(x), revisamos que los limites están en x ≥ 0, por lo que tomaremos el segmento de la función definido para este rango. 

$\int\limits^3_1 {f(x)} \, dx = \int\limits^3_1 {x e^{x} +1 } \, dx$

Usando el método de la integración por partes:

$\int\limits^3_1 {x e^{x} +1 } \, dx = [x e^{x} - e^{x}] =$³₁ = $3e^{3} - e^{3} - e^{1} + e^{1} =$ =40,17