Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(−4, 6, 6), el origen de coordenadas O, y la recta r ≡ {x = −4 + 4λ y = 8 + 3λ z = −2λ, se pide:
c) (1 punto) ¿Existe algún punto R de la recta r, de modo que los puntos O, P y R estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II . Muchas gracias
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Respuesta dada por:
1
Esta es la solución del ejercicio 1 parte c de la Prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2014 - 2015 Matemática II:
Para conocer si existe algún punto R dentro de la recta r tal que los puntos O(0,0,0), P(-4,6,6) y R estén alineados debe cumplirse que, tanto la recta s:
![u_{s} = OP = (-4,6,6) = 2(-2,3,3) u_{s} = OP = (-4,6,6) = 2(-2,3,3)](https://tex.z-dn.net/?f=+u_%7Bs%7D+%3D+OP+%3D+%28-4%2C6%2C6%29+%3D+2%28-2%2C3%2C3%29++)
Ps = O(0,0,0)
Así como que la recta r debe truncarse justo en el punto R.
Procedemos a formar un vector auxiliar: PsPr = (-4,8,0)
Ahora aplicamos el producto cruz mixto de los puntos para saber si las rectas están alineadas:
![[PsPr, u_{r}, u_{s} ] = \left[\begin{array}{ccc}-4&8&0\\4&3&-2\\-2&3&3\end{array}\right] = -124 [PsPr, u_{r}, u_{s} ] = \left[\begin{array}{ccc}-4&8&0\\4&3&-2\\-2&3&3\end{array}\right] = -124](https://tex.z-dn.net/?f=%5BPsPr%2C+u_%7Br%7D%2C+u_%7Bs%7D+%5D+%3D+++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-4%26amp%3B8%26amp%3B0%5C%5C4%26amp%3B3%26amp%3B-2%5C%5C-2%26amp%3B3%26amp%3B3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+-124)
Como el resultado es diferente de 0 podemos concluir que las rectas r y s tienen punto de intersección por lo que no están alineadas.
Para conocer si existe algún punto R dentro de la recta r tal que los puntos O(0,0,0), P(-4,6,6) y R estén alineados debe cumplirse que, tanto la recta s:
Ps = O(0,0,0)
Así como que la recta r debe truncarse justo en el punto R.
Procedemos a formar un vector auxiliar: PsPr = (-4,8,0)
Ahora aplicamos el producto cruz mixto de los puntos para saber si las rectas están alineadas:
Como el resultado es diferente de 0 podemos concluir que las rectas r y s tienen punto de intersección por lo que no están alineadas.
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