Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(−4, 6, 6), el origen de coordenadas O, y la recta r ≡ {x = −4 + 4λ y = 8 + 3λ z = −2λ, se pide:
a) (1 punto) Determinar un punto Q de la recta r, de modo que su proyección Q0 sobre OP sea el punto medio de este segmento. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II , Muchas gracias.

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 1a de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014-2015 Matematica II:

Nos dan los puntos P(-4,6,6), O(0,0,0) y la siguiente recta:

r :  x = -4 + 4λ        y = 8 + 3λ        z = -2λ

Procedemos a calcular cual es el punto Q de la recta r que tiene una proyección (Q') sobre OP igual al punto medio del segmento de recta: 

Conociendo quien es P y quien es O, determinamos cual es el punto medio del segmento de recta que forman los dos puntos,

Q' = $\frac{O + P}{2} = \frac{x}{y} \frac{(-4+0,6+0, 6+0)}{2} = (-2,3,3)$

Cualquier punto en la recta r es descrito: Q(-4 + 4λ, 8 + 3λ ,-2λ )
                                                       →
Ahora formamos el nuevo vector Q'Q = (-2+4λ,5+3λ,-3-2λ)

Usando el producto punto entre dos vectores:
 →    →
Q'Q. OP = 0 
(-2+4λ,5+3λ,-3-2λ) . (-4,6,6) = 8-16λ + 30 + 18λ - 18 -12λ = 0
λ = 2

Sustituimos el valor de λ en Q, logrando obtener la recta:
→
Q = (-4 + 4.2, 8 + 3.2 ,-2.2 ) = (4,14,-4)