Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el punto P(−4, 6, 6), el origen de coordenadas O, y la recta r ≡ {x = −4 + 4λ y = 8 + 3λ z = −2λ, se pide:
a) (1 punto) Determinar un punto Q de la recta r, de modo que su proyección Q0 sobre OP sea el punto medio de este segmento.
b) (1 punto) Determinar la distancia de P a r.
c) (1 punto) ¿Existe algún punto R de la recta r, de modo que los puntos O, P y R estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II.
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Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 1 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014-2015 Matematica II:

Partiendo del punto P(-4,6,6), el origen O(0,0,0) y la recta:

r :     x = -4 + 4λ        y = 8 + 3λ        z = -2λ

a) Para determinar un punto Q en la recta r, cuya proyección Q' sobre la recta OP sea igual al punto medio:
 

Q' = $\frac{O + P}{2} = \frac{x}{y} \frac{(-4+0,6+0, 6+0)}{2} = (-2,3,3)$

Un punto cualquiera en la recta r viene dado Q(-4 + 4λ, 8 + 3λ ,-2λ )
                                                       →
El nuevo vector Q'Q = (-2+4λ,5+3λ,-3-2λ)

Empleando la operación de producto punto vectorial
 →    →
Q'Q. OP = 0 
(-2+4λ,5+3λ,-3-2λ) . (-4,6,6) = 8-16λ + 30 + 18λ - 18 -12λ = 0
λ = 2

Sustituimos el valor de λ en Q, por lo que la recta sería
→
Q = (-4 + 4.2, 8 + 3.2 ,-2.2 ) = (4,14,-4)

b) Determinamos cual es la distancia entre punto P y la recta r:

$u_{r} = (4,3,-2)$
$P_{r} = (-4,8,0)$

Ahora el resultado de la resta entre P y Pr,
 →
P.Pr = (-4 - (-4), 6 - 8, 6 - 0) = (0,-2,6) 

Aplicando producto cruz:

|$u_{r}xPrP$ | =  $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&3&-2\\0&-2&6\end{array}\right]$ = |(14,-24,-8)| = 2 $\sqrt{209}$ 

Finalmente la distancia entre P y r es:

d(P,r) = $\frac{| u_{r}xPr.P |}{| u_{r} |} = 2 \sqrt{ \frac{209}{29} }$ ≈ 5,37 u

b) Para poder saber si existe un punto R dentro de la recta r tal que los puntos O(0,0,0), P(-4,6,6) y R estén alineados debe ocurrir que tanto la recta s:

$u_{s} = OP = (-4,6,6) = 2(-2,3,3)$
Ps = O(0,0,0)

Así como que la recta r debe truncarse justo en el punto R.

Procedemos a formar un vector auxiliar: PsPr = (-4,8,0)

Ahora aplicamos el producto cruz mixto de los puntos para saber si las rectas están alineadas:

$[PsPr, u_{r}, u_{s} ] = \left[\begin{array}{ccc}-4&8&0\\4&3&-2\\-2&3&3\end{array}\right] = -124$

Como el resultado es diferente de 0 podemos concluir que las rectas r y s tienen punto de intersección por lo que NO están alineadas.