Question

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dados el plano π ≡ x − 2y + 2z + 1 = 0 y la superficie esférica (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 9, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano π. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II
. Muchas gracias

Answer 1

Esta es la respuesta para el ejercicio 4 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II:

Nos indican que tenemos el siguiente plano:

π: x - 2y + 2z + 1 = 0

y la esfera descrita por la ecuación:

$(x-1)^{2} + (y-1)^{2} + (z-2)^{2} = 9$

donde el radio es igual a r = 3 y el centro de la esfera es el punto C(1,1,2)

En base a esto procedemos a construir una recta que sea perpendicular a ese plano y que a su vez pase por el punto C.

$u_{ \pi}$ = (1,-2,2)

(x-1,y-1, z-2) = λ(1,1,2)

x = 1 + λ      y = 1 - 2λ      z  = 2 + 2λ
 
Buscamos cuales son los puntos donde la recta corta a la esfera:

(1+λ-1)² + (1-2λ-1)²  + (2+2λ-2)² = 9
λ = +/- 1

Esto genera los siguientes puntos:

P1 (2,-1,4)  y   P2 (0,3,0)

Ahora podemos conocer cuales son los planos tangentes,

π1 = $\left \{ {{x - 2y + 2z + lambda = 0} \atop {P1(2,-1,4)}} \right.$
π1: x - 2y + 2z -12 = 0

π2 = $\left \{ {{x - 2y + 2z + lambda = 0} \atop {P2(0,3,0)}} \right.$
π2: x - 2y + 2z + 6 = 0