Question

En un puerto, la marea sube y baja cada 12.4 horas y la profundidad del agua varía de 5.8 a 12.2 metros. Si la marea alta ocurrió a las 04:00 horas, la función que describe la profundidad en cualquier momento t

Answer 1

hola qué tal
para resolver este problema debemos tomar en cuenta que es un ciclo repetitivo, que lo estará haciendo en lapsos de 12.4hrs por los siglos de los siglos (o hasta que la luna deje de hacer un efecto gavitatorio sobre la tierra)
por lo que la función se debe modelar como una función armónica o periódica (seno o coseno) donde su máximo será 12.2m y el mínimo 5.8m

f(t)=Asen(wt+b)+M
M es el corrimiento de amplitud de la función
A es la amplitud de la función trigonométrica seno.
w es la velocidad angular o la velocidad periódica, está dada por [rad/s ó rad/hr ó rad/min]
b es un ángulo de desviación o defasamiento

cuando tenemos un máximo ( sen((4n+1)π/2)=1 , n=0,1,2,3.... ) la profundidad es 12.4m, y cuando tenemos un mínimo ( sen((4n+3)π/2)=-1 , n=0,1,2,3.... ) 5.8m
A+M=12.4 Ec1
-A+M=5.8 Ec2
sumamos Ec1 y Ec2
2M=18.2
M=18.2/2=9.1 m
sustituimos M en Ec1
A+9.1=12.4
A=12.4-9.1=3.3 m

la velocidad angular está definida por w=2πf=2π/T
f es la frecuencia [Hz=1/s]
T es el periodo [s] y se define como el tiempo que tarda en completarse un ciclo.
como la marea sube en 12.4hr y baja en 12.4hr su periodo es la suma de ambos tiempos
T=12.4+12.4=24.8hr
w=2π/24.8=5π/62 [rad/hr]
conviene dejarlo expresado en fracción y sin sustituir el valor de π, ya que trabajemos en radianes y esto nos dará resultados más exactos.
f(t)=3.3sen( (5π/62)t+b )+9.1

finalmente para calcular el ángulo de desviación o defasamiento, nos dicen que las 4hrs ocurrió marea alta, podemos definir este dato como la primer marea, y de ser así, recordamos que sen(4n+1)π/2), n=0,1,2,3 nos dará un máximo, si proponemos que en ese momento de tiempo sea el primer máximo n=0 y su argumento tiene que valer π/2
(5π/62)t+b=π/2
(5π/62)(4)+b=π/2
20π/62 + b =π/2
10π/31 + b = π/2
b=π/2 - 10π/31 = (π*31-2*10π)/(31*2)
b = (31π-20π)/62 =11π/62

la función queda de la siguiente manera:
f(t)=3.3sen( (5π/62)t + 11π/62 )+9.1
donde los valores del tiempo se deben dar en hrs, y el resultado de la función está dada en metros.

espero haberte ayudado