Question

Cómo escribo estas funciones con valor absoluto a funciones a trozos??

a) 3-|x-4|

b) |x-2|-2

Answer 1

Para cada función debes encontrar el límite a partir del cual la función se hace positiva o negativa dentro del valor absoluto. Te lo enseño con la del apartado a):

f(x) = 3 - |x-4|

¿Dónde cambia de signo lo que hay dentro del valor absoluto?
x - 4 = 0
x = 4
Es decir, que para valor de x > 4, lo que hay en el valor absoluto es positivo y por tanto no hace falta cambiarlo. Ahí tenemos el primer trozo de la función.

f (x) = 3 - (x -4) si x > 4

Para los casos en los que x < 4, lo que hay dentro del valor absoluto será negativo y, por tanto, debemos cambiarlo de signo. Ahí tenemos el segundo trozo.

f(x) = 3 - (-x+4) si x < 4

Simplificando los valores, tenemos la solución a trozos:
$\left \{{{f(x)=x - 1 } \atop {f(x) = -x + 7}} \right.$
Donde el primer trozo se da cuando x<4, y el segundo cuando x≥4
(fíjate que cuando x = 4 los dos trozos coinciden. Por eso, uno de los dos (generalmente el trozo superior debe tener el símbolo ≥ en vez de > para poder contemplar el caso en que x es exactamente 4)

El apartado b) deberías hacerlo por tu cuenta y comprobar si realmente lo has entendido.