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Respuesta:Espacio muestral
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En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo (ver más adelante).
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio muestral es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,1 llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P.
Índice
1 Definición
2 Tipos de espacio muestral
2.1 Discretos
2.1.1 Espacio probabilístico discreto equiprobable
2.1.2 Espacio probabilístico finito
2.1.3 Procesos estocásticos finitos y diagramas de árbol
2.1.4 Espacio probabilístico infinito contable
2.2 Continuos
2.2.1 Espacio probabilístico continuo
2.2.2 Particiones
2.2.3 Ejemplos
3 Referencias
3.1 Bibliografía
Definición
Formalmente, un espacio muestral es una tripleta {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} donde {\displaystyle \Omega }\Omega es el conjunto al que pertenecen los sucesos elementales. Por otro lado {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )}{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )} es una colección de subconjuntos de {\displaystyle \Omega }\Omega que forma una σ-álgebra de subconjuntos (los subconjuntos {\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}{\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}, son los eventos aleatorios no elementales), y finalmente {\displaystyle \mu }\mu es una medida de conjuntos que permite asignar probabilidades a los sucesos o eventos del espacio muestral.
Tipos de espacio muestral
Podemos diferenciar entre dos tipos principales de espacios muestrales, cada uno con subcategorías:
Espacios muestrales discretos o numerables, que a su vez se dividen en
Espacios muestrales finitos.
Espacios muestrales inifinitos numerables.
Espacios muestrales continuos, que siempre son infinitos no numerables.
Discretos
Los espacios discretos son espacios numerables, en ellos el conjunto de sucesos sucesos elementales es finito o infinito numerable. En consecuencia, la probabilidad para cada uno de los eventos elementales se puede representar por un número real {\displaystyle p_{k}}{\displaystyle p_{k}} con {\displaystyle k\in \mathbb {N} }{\displaystyle k\in \mathbb {N} }. Estos números satisfacen la relación:
{\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}{\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}
En un espacio muestral discreto suele tomarse como σ-álgebra el conjunto potencia de {\displaystyle \Omega }\Omega , es decir, el conjunto de todas las partes (numerables) de {\displaystyle \Omega }\Omega . Como medida de probabilidad puede adoptarse la medida:
{\displaystyle \mu (S)=\sum _{\omega _{j}\in S}p_{j}}{\displaystyle \mu (S)=\sum _{\omega _{j}\in S}p_{j}}
donde {\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\}}{\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\}} es una enumeración de los elementos de {\displaystyle \Omega }\Omega .
Espacio probabilístico discreto equiprobable
Su espacio muestral es finito de tamaño n.
La probabilidad de cualquier suceso elemental E es
{\displaystyle P(E)={1 \over n}}{\displaystyle P(E)={1 \over n}}
de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es
{\displaystyle P(A)={n(A) \over n}}{\displaystyle P(A)={n(A) \over n}}
Espacio probabilístico finito
Su espacio muestral es discreto finito.
Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.{\displaystyle P(A)\neq P(B)}{\displaystyle P(A)\neq P(B)}
Procesos estocásticos finitos y diagramas de árbol
Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.