Question

y''+3/xy'+4x^2y=0
ecuacion diferencial por metodo de frobenius

es urgente!!

Answer 1

Bueno yo lo haré por otro método quizá te sirva después. Lo que trataré de hacer es llevar la ecuación a la forma de Bessel.

sea la ecuación (1) $xy''+3y'+4x^3y=0$ entonces hagamos el siguiente cambio de variable $y=p(x)\cdot q(x)$ así tenemos

$y'=p'q+pq'\\ \\ y'' =p''q+2p'q'+pq''$

Reemplazamos esto en la EDO (1)

$x(p''q+2p'q'+p'q'')+3(p'q+pq')+4x^3pq=0\\ \\ xp''q+(2xq'+3q)p'+(xpq''+3pq'+4x^3pq)=0\\ \\ \texttt{dividimos entre }q\\ \\ xp''+\left(\dfrac{2xq'+3q}{q}\right)p'+\left(\dfrac{xq''+3q'+4x^3q}{q}\right)p=0\\ \\ \texttt{multiplicamos por }x\\ \\ x^2p''+\left(\dfrac{2xq'+3q}{q}\right)p'x+\left(\dfrac{x^2q''+3xq'+4x^4q}{q}\right)p=0\\ \\ \\ \texttt{Nos conviene que }\dfrac{2xq'+3q}{q}=1\texttt{ se puede hacer esto }\\\texttt{ya que estamos en plena construcci\'on de las funciones}\\p\texttt{ y }q$


$\texttt{entonces resolvemos }\\ \\ \dfrac{2xq'+3q}{q}=1\\ \\ xq'=-q\\ \\ q=\dfrac{1}{x}\\ \\ \\ \texttt{Reemplazamos esto en la EDO: }\\ \\ x^2p''+\left(\dfrac{2xq'+3q}{q}\right)p'x+\left(\dfrac{x^2q''+3xq'+4x^4q}{q}\right)p=0\\ \\ \\ x^2p''+p'x+(4x^4-1)p=0\\ \\ \texttt{Hacemos otro cambio de variable }u=x^2\texttt{ note que las}\\ \texttt{las derivadas de }p\texttt{ son relativas a la variable }x\texttt{ por ello}\\ \\ \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=2x\cdot\dfrac{dp}{du}$

$\dfrac{d^2p}{dx^2}=2\cdot\dfrac{dp}{du}+4u\cdot\dfrac{d^2p}{du^2}$


$\texttt{Reemplazando en }x^2p''+p'x+(4x^4-1)p=0\texttt{ tenemos: }\\ \\ \\ u^2p''+up+\left(u^2-\dfrac{1}{4}\right)p=0\;\;\;\;\;\texttt{ (Ecuaci\'on de Bessel)}\\ \\ \\ \texttt{cuya soluci\'on es: } p=C_1J_{1/2}(u)+C_2J_{-1/2}(u)\texttt{ recuerde que }\\ y= pq =\dfrac{p}{x}\texttt{ y }u=x^2\texttt{ entonces:}\\ \\ \\ y=\dfrac{C_1}{x}J_{1/2}(x^2)+\dfrac{C_2}{x}J_{-1/2}(x^2)$


$\texttt{es decir:}\\ \\ \\ \displaystyle y=\dfrac{C_1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1+1/2)}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^{2n+1/2}+\cdots\\ \\\\+\dfrac{C_2}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1-1/2)}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^{2n-1/2}$


$\texttt{usemos la propiedad: }\\ \\ \Gamma(z)\Gamma\left(z+\dfrac{1}{2}\right)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\,\Gamma(2z)\\ \\ \\ \texttt{As\'i : }\\ \\ J_{1/2}=\dfrac{\sin(x^2)}{x\sqrt{2\pi}}\texttt{ y }J_{-1/2}=\dfrac{\cos(x^2)}{x\sqrt{2\pi}}\\ \\\text{por ende: }\\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=c_1\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}+c_2\dfrac{\cos(x^2)}{x^2}}}$