Question

Un velero es arrastrado hacia el muelle por medio de una polea situada a una altura de 12 pies encima de la quilla del barco:
a) Si la cuerda se recoge a razón de 4 pies por segundo. determinar la velocidad del velero cuando quedan 13 pies de cuerda sin recoger.

Answer 1

Sea la distancia entre la quilla del barco y el muelle:
a = √(h² - b²)
Donde h es la hipotenusa del triangulo que forman los puntos de la cuerda la polea, el punto del muelle y la quilla del barco.
Nos interesa saber la razón de cambio, para esto usaremos la derivada de la función, este limite toma dos puntos muy cercanos y nos da la pendiente en tal punto, si derivamos respecto al tiempo obtendremos la velocidad en el punto que nos interesa.

Tenemos que modelar el sistema en función del tiempo.
a(t) = √(h² - 12²)
Modelando la cuerda:
h(t)= 13 - 4t
esto por que cada segundo se recogen 4 metros de cuerda. (estamos en el tiempo 0, es decir el instante donde quedan 13 metros de cuerda)
Elijo el 13 por facilidad, pero puedes elegir la longitud de cuerda que quieras, eso si al derivar deberás tener en cuenta el tiempo t que debe pasar para que quede 13 metros de cuerda.
Reemplazando:
a(t) = √((13 - 4t)² - 12²)
a(t) = √(25- 104 t + 16 t²)
Derivando en el punto t= 0:
a'(0) =  1/2 (25- 104 (0) + 16 (0)²)^-1/2 * (-104 + 16 (0))
a'(0) = 1/2* 1/(√25) * (-104) = -52/5

R: Velocidad = -52/5 pies por segundo, el signo menos determina la dirección del vector.

También puedes:
a^2 +b^2 = c^2
a= 12
c= 13
y b en ese instante = √(169 - 144) = 5

Entonces:
Derivando 144 + b^2 = c^2
2b db/dt = 2c dc/dt
Despejando db/dt
db/dt = c/b *dc/dt
db/dt = 13/5 * -4 = -52/5