Escribe verdadero (V) o falso (F). a. Z Z 5 Z 2 1 , b. Z Z 5 0 Z 2 1 , , " , c. El conjunto Z2 es igual al conjunto lN. d. Todo número positivo es mayor que cero. e. Si p Z2 ! entonces p < 0.
Respuestas
Respuesta:
os números enteros y su ordenación. El principio de inducción matemática.
Los números enteros
Los números enteros se definen como el conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).
Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z
Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z
Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c
Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z
La ordenación de los números enteros
En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un conjunto totalmente ordenado.
Esta relación de orden total es compatible con la suma y el producto:
a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c.
a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0.
Dado un (A,<) conjunto ordenado y dado un subconjunto no vacío S de A, se dice que:
c ∈ A es cota inferior de S si c < x, para todo x ∈ S
m ∈ S es mínimo de S si m < x, para todo x ∈ S
Se dice por tanto que S está acotado inferiormente si existe un elemento c ∈ A que es cota inferior de S.
Axioma de buena ordenación en (Z , <)
Si X es un subconjunto no vacío de Z y está acotado inferiormente, entonces X tiene mínimo (habrá pues siempre un primer elemento del conjunto).
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un subconjunto de los números naturales también tendrá mínimo, evidentemente.
Explicación paso a paso: