Question

UN CABLE ESTÁ TENDIDO SOBRE DOS POSTES COLOCADOS A UNA SEPARACION DE 8 m. A LA MITAD DEL CABLE SE CUELGA UN LETRERO QUE PROVOCA UNA PANDEADURA, POR LO QUE DESCIENDE VERTICALMENTE 1 m. LA TENSIÓN EN CADA SEGMENTO ES DE 1,500 N. ¿CUÁL ES EL PESO DEL LETRERO? *

Answer 1

El peso del letrero es de aproximadamente 727,60 N

Solución

Se tienen dos postes separados entre sí entre los cuales hay un cable tendido, en donde en el centro de este cable cuelga un letrero

Esto hace que en la mitad de la distancia entre postes, el cable se hunda o descienda verticalmente por efecto de pandeo exactamente en la mitad del cable por el peso (P) del letrero

Sin embargo como el letrero está colgado justamente en la mitad, se tiene una tensión (T) que apunta hacia la izquierda y otra tensión equivalente que apunta hacia la derecha

Como se puede observar en el diagrama de cuerpo libre

Donde el cable volvería a su posición original de no ser por el peso (P) del letrero, y es ese peso el que hace empujar al cable hacia abajo

Por lo tanto hay tres fuerzas (F) de tensión (T) donde dos son las del cable dirigidas en dos direcciones opuestas y la tercera provocada por el peso del cartel

Esto hace que el sistema esté en equilibrio dado que el letrero está en reposo y por tanto no se mueve

Por tanto el peso del letrero equivale a la suma de las componentes en el eje y de la tensión (T), las cuales apuntan hacia arriba

$\large \textsf{En un sistema en equilibrio donde la suma de las fuerzas es igual a cero } }}$

Se tiene

$\large\boxed {\bold { \sum \ F = 0 }}}$

$\large\boxed {\bold { 2 T \ y \ + P = 0 }}}$

$\large\boxed {\bold { P = 2 T \ y }}}$

Para calcular la componente en y de un vector se multiplica su magnitud por el seno del ángulo

$\large\boxed {\bold { 2 T \ sen\ \theta \ = P }}}$

Como desconocemos el valor del ángulo:

Observamos que este está contenido en un triángulo rectángulo

Donde un cateto equivale a 1 metro, o lo que desciende el letrero

Y el otro cateto equivale a la mitad de la longitud entre los postes que sostienen al cable, es decir 4 metros

Aplicamos tangente inversa para hallar el valor del ángulo

$\boxed {\bold { \theta = arctan \left(\frac{1}{4}\right) }}}$

$\boxed {\bold { \theta = 14,036\° }}}$

Teniendo el valor del ángulo

Planteamos

$\large\boxed {\bold { P= 2 T \ sen\ \theta }}}$

$\large\boxed {\bold { P= 2 \ . \ 1500 \ N \ . \ sen (14,036\°)}}}$

$\large\boxed {\bold { P= 3000 \ N \ . \ 0,2425335025911}}}$

$\large\boxed {\bold { P \approx 727,594 \ N }}$

$\large\boxed {\bold { P \approx 727,60 \ N }}$

El peso del letrero es de aproximadamente 727,60 N