Question

Determina la ecuacion ordinaria y general de la circunferencia que pasa por el punto dado y la interseccion de la circunferencia

x^2+y^2-8x+2y-8=0 ; x^2+y^2-20x-4y+64=0 ; P(-6;-4)

Answer 1

Una combinación lineal entre las ecuaciones genera una familia de circunferencias que pasa por la intersección de las dos. Se debe hallar el parámetro de la familia para que pase por el punto P

La combinación es:

x² + y² - 8 x + 2 y - 8 + k (x² + y² - 20 x - 4 y + 64) = 0

Reemplazamos por las coordenadas de P:

6² + 4² + 48 - 8 - 8 + k (6² + 4² +120 +16 + 64) = 0

84 + 252 k = 0, o sea k =  - 1/3

Reemplazamos en la ecuación de la familia y efectúo las operaciones para reducir a la forma general (omito los pasos intermedios)

x² + y² - 2 x + 5 y - 44 = 0 (forma general)

Para hallar la forma ordinaria completamos cuadrados:

(x² - 2 x + 1) + (y² + 5 y + 25/4) = 44 + 1 + 25/4 = 205/4

Nos queda (x - 1)² + (y + 5/2)² = 205/4 

El radio es √(205/4) = 7,16 aproximadamente.

Adjunto gráfico. La escala permite ver las partes importantes, tales como los centros de las tres y que pasan por los puntos de intersección de las dos primeras.

Saludos Herminio