HALLAR LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL TRIANGULO DE LSO LADOS A(X-Y 2=0) B(2X 3Y-1=0) Y C(4X Y-17=0) AYUDEMEN :D
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Respuesta dada por:
68
Primero hallamos los vértices del triángulo.
Para ello, hacemos 3 sistemas de ecuaciones:
![\left \{ {{x-y=-2} \atop {2x+3y=1}} \right. \left \{ {{x-y=-2} \atop {2x+3y=1}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx-y%3D-2%7D+%5Catop+%7B2x%2B3y%3D1%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{2x+3y=1} \atop {4x+y=17}} \right. \left \{ {{2x+3y=1} \atop {4x+y=17}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2B3y%3D1%7D+%5Catop+%7B4x%2By%3D17%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{x-y=-2} \atop {4x+y=17}} \right. \left \{ {{x-y=-2} \atop {4x+y=17}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx-y%3D-2%7D+%5Catop+%7B4x%2By%3D17%7D%7D+%5Cright.+)
De donde se obtienen los vértices: D(-1;1) E(5;-3) y F(3;5)
Ahora hallamos el centro de la circunferencia
. Sabiendo que el radio equidista de los vértices del triángulo se plantea:
![\sqrt{(h+1)^2+(k-1)^2} = \sqrt{(h-5)^2+(k+3)^2} = \sqrt{(h-3)^2+(k-5)^2} \sqrt{(h+1)^2+(k-1)^2} = \sqrt{(h-5)^2+(k+3)^2} = \sqrt{(h-3)^2+(k-5)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B%28h%2B1%29%5E2%2B%28k-1%29%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B%28h-5%29%5E2%2B%28k%2B3%29%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B%28h-3%29%5E2%2B%28k-5%29%5E2%7D+)
Elevando todo al cuadrado:
![h^2+2h+1+k^2-2k+1=h^2-10h+25+k^2+6k+9= \\ h^2-6h+9+k^2-10k+25 h^2+2h+1+k^2-2k+1=h^2-10h+25+k^2+6k+9= \\ h^2-6h+9+k^2-10k+25](https://tex.z-dn.net/?f=h%5E2%2B2h%2B1%2Bk%5E2-2k%2B1%3Dh%5E2-10h%2B25%2Bk%5E2%2B6k%2B9%3D+%5C%5C+h%5E2-6h%2B9%2Bk%5E2-10k%2B25)
De allí se sacan las ecuaciones:
![\left \{ {{3h-2k=8} \atop {h=4k}} \right. \left \{ {{3h-2k=8} \atop {h=4k}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B3h-2k%3D8%7D+%5Catop+%7Bh%3D4k%7D%7D+%5Cright.+)
Del sistema de ecuaciones:
y ![h= \frac{16}{5} h= \frac{16}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D+%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7D+)
Entonces el centro es:
)
Y el radio (hallando la distancia del centro a los vértices):
![r= \frac{ \sqrt{442}}{5} r= \frac{ \sqrt{442}}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=r%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B442%7D%7D%7B5%7D+)
Finalmente, reemplazamos en la fórmula:![(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 (x-h)^2+(y-k)^2=r^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-h%29%5E2%2B%28y-k%29%5E2%3Dr%5E2)
![(x- \frac{16}{5} )^2+(y- \frac{4}{5})^2= \frac{442}{25} (x- \frac{16}{5} )^2+(y- \frac{4}{5})^2= \frac{442}{25}](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-+%5Cfrac%7B16%7D%7B5%7D+%29%5E2%2B%28y-+%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%29%5E2%3D+%5Cfrac%7B442%7D%7B25%7D+)
Para ello, hacemos 3 sistemas de ecuaciones:
De donde se obtienen los vértices: D(-1;1) E(5;-3) y F(3;5)
Ahora hallamos el centro de la circunferencia
Elevando todo al cuadrado:
De allí se sacan las ecuaciones:
Del sistema de ecuaciones:
Entonces el centro es:
Y el radio (hallando la distancia del centro a los vértices):
Finalmente, reemplazamos en la fórmula:
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