Question

Resolver desigualdad.
0 "algo" distinto de cero.

Es para acotar el resto de raíz de 2 en un pol. de Taylor de la función (1+x)^(1/2) Centrado en 0, de orden 3.

Entonces, si queda: [1/t^(7/2)] > 0 no me sirve, porque me diría que el error es cero y eso no es cierto.
Pregunta original: " Sea f(x)=(1+x)^(1/2). Usando el pol. de Taylor de orden 3 de f en a=0, calcular el valor aprox. de raiz de 2 que da dicho polinomio. Estimar el error. "

Answer 1

derivemos
$f(x)=(1+x)^{1/2}\\ \\ f'(x)=\dfrac{1}{2}(1+x)^{-1/2}\to f'(0)=\dfrac{1}{2}\\ \\ f''(x)=-\dfrac{1}{4}(1+x)^{-3/2}\to f''(0)=-\dfrac{1}{4}\\\\ f'''(x)=\dfrac{3}{8}(1+x)^{-5/2}\to f'''(0)=\dfrac{3}{8}\\\\\\ f^{iv}(x)=-\dfrac{15}{16}(1+x)^{-7/2}\to f^{iv}(t)=-\dfrac{15}{16}(1+t)^{-7/2}\\\\\\ f(x)=1+\dfrac{1}{2\cdot 1! }x-\dfrac{1}{4\cdot 2!}x^2+\dfrac{3}{8\cdot 3!}x^3+E_3$

$f(x)=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{48}x^3+\left(-\dfrac{15}{16\cdot 4!}(1+t)^{-7/2}x^4\right)\\ \\ \\ f(x)=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{48}x^3+\left(-\dfrac{15}{256}(1+t)^{-7/2}x^4\right)\\ \\ \sqrt{2}\approx f(1)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{48}\\ \\ \sqrt{2}\approx \dfrac{23}{16}\\ \\ \\ \boxed{\sqrt{2}\approx 1.4375}$

Cuyo error es

$E_3=-\dfrac{15}{256}(1+t)^{-7/2}\;,\; t\in (0,1)\\ \\ \dfrac{1}{2}\ \textless \ \dfrac{1}{t+1}\ \textless \ 1\to \sqrt{\dfrac{1}{2}}^7\ \textless \ \sqrt{\dfrac{1}{t+1}}^7\ \textless \ 1\\ \\ \\ \boxed{|E_3|\leq \dfrac{15}{256}}$

es decir

$\sqrt{2}=1.4375+E_3$