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PolígonoUn polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.RegularUn "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Si no, es irregular.Pentágono regularPentágono irregular
Ángulo interiorEl ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:(n-2) × 180° / nPor ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°
Ángulo exteriorLos ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interiorEl ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°
DiagonalesTodos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales(líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).El número de diagonales es n(n - 3) / 2.Ejemplos:un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonalesun octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)
Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono.La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio.El radio de la circunferencia circunscrita es también el radiodel polígono.El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.FórmulasSi tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":sin(π/n) = (Lado/2) / RadioLado = 2 × Radio × sin(π/n)cos(π/n) = Apotema / RadioApotema = Radio × cos(π/n)tan(π/n) = (Lado/2) / ApotemaLado = 2 × Apotema × tan(π/n)Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.ÁreaAhora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)Así que:Área del triángulo pequeño= ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n)) = ½ × Apotema2 × tan(π/n)Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n)¡La verdad es que es una fórmula muy simple!Otras fórmulas del áreaSi no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado:Área del polígono = ½ × n × Radio2 × sin(2 × π/n)Área del polígono = ¼ × n × Lado2 / tan(π/n)Tabla de valoresPodemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":NombreLados
(n)FiguraÁngulo interiorRadioLadoApotemaÁreaTriángulo
(o trígono)360°11.732...
(√3)0.51.299...
(¾√3)Cuadrilátero
(o tetrágono)490°11.414...
(√2)0.707...
(1/√2)2Pentágono5108°11.176...0.809...2.378...Hexágono6120°110.866...
(½√3)2.598...
((3/2)√3)Heptágono
(o septágono)7128.571°10.868...0.901...2.736...Octágono8135°10.765...0.924...2.828...
(2√2)... Pentacontágono50 172.8°10.126...
0.998...
3.133...
GráficoY este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30.Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende a π = 3.1416..., como una circunferencia.¿A qué tiende el lado?
Ángulo interiorEl ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:(n-2) × 180° / nPor ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°
Ángulo exteriorLos ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interiorEl ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°
DiagonalesTodos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales(líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).El número de diagonales es n(n - 3) / 2.Ejemplos:un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonalesun octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)
Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono.La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio.El radio de la circunferencia circunscrita es también el radiodel polígono.El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.FórmulasSi tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":sin(π/n) = (Lado/2) / RadioLado = 2 × Radio × sin(π/n)cos(π/n) = Apotema / RadioApotema = Radio × cos(π/n)tan(π/n) = (Lado/2) / ApotemaLado = 2 × Apotema × tan(π/n)Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.ÁreaAhora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)Así que:Área del triángulo pequeño= ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n)) = ½ × Apotema2 × tan(π/n)Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n)¡La verdad es que es una fórmula muy simple!Otras fórmulas del áreaSi no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado:Área del polígono = ½ × n × Radio2 × sin(2 × π/n)Área del polígono = ¼ × n × Lado2 / tan(π/n)Tabla de valoresPodemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":NombreLados
(n)FiguraÁngulo interiorRadioLadoApotemaÁreaTriángulo
(o trígono)360°11.732...
(√3)0.51.299...
(¾√3)Cuadrilátero
(o tetrágono)490°11.414...
(√2)0.707...
(1/√2)2Pentágono5108°11.176...0.809...2.378...Hexágono6120°110.866...
(½√3)2.598...
((3/2)√3)Heptágono
(o septágono)7128.571°10.868...0.901...2.736...Octágono8135°10.765...0.924...2.828...
(2√2)... Pentacontágono50 172.8°10.126...
0.998...
3.133...
GráficoY este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30.Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende a π = 3.1416..., como una circunferencia.¿A qué tiende el lado?
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