un deportista lanza una jabalina con un angulo de 52*,obteniendo una distancia maxima horizontal de 8 metros hallar la altura maxima alcanzada la velocidad y el tiempo de vuelo

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Respuesta dada por: emilyanayelip2007278
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Respuesta:

Explicación:Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

 

Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ

vy=v0·senθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t

y= h+v0·senθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

Elevamos al cuadrado y simplificamos

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale

Sustituyendo cosθ y senθ  en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo

Rm=h·tan(2θm)

El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

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