Question

JoelMZ17 ayúdameee!!

Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene una función de costos totales: $CT = 2Q^3- 72Q^2 + 964Q +10580$
Además el precio de mercado en el que trabaja es de P=1114

a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
b) Halle qué beneficio obtendrá y represente gráficamente el equilibrio de la empresa.

Answer 1

Explicación paso a paso:

Hola!

• Un mercado de competencia perfecta se caracteriza porque existen muchos vendedores y muchos compradores, es decir existe una Libre concurrencia ya que ninguno influye en la determinación del precio.
• Existe una Homogeneidad del producto, por lo tanto no hay motivos para preferir el producto de otro vendedor.
• No hay barreras de entrada ni de salida, es decir cada comprador y vendedor actúa independientemente de todos los demás.
• El precio es constante ante cualquier volumen de producción.
• La curva de demanda es perfectamente elástica, es decir es una línea horizontal.
• En este mercado se cumple que: P = Img = Ime(Ingreso medio) = Cmg.
• La empresa maximiza beneficios cuando: Img = Cmg   o     P =Cmg

Entonces tenemos la siguiente función:

$CT=2Q^3-72Q^2+964Q+10580$

Lo que tenemos que encontrar es el costo marginal (Cmg). El costo marginal se calcula derivando la función del costo total con respecto a Q, es decir:

                                               $Cmg=CT'$

Calculamos el Cmg:

                                     $Cmg=6Q^2-144Q+964$

Ahora para maximizar beneficios, debemos emplear la condición:

                                                  $Cmg=P$

Reemplazamos:

                                  $6Q^2-144Q+964=1114\\6Q^2-144Q-150=0$

Dividimos entre 6 cada término para simplificar la ecuación cuadrática:

                                        $Q^2-24Q-25=0$

Obtenemos sus factores primos:

                                        $(Q-25)(Q+1)=0$

Igualamos a cero cada factor primo y obtenemos sus soluciones:

               Q - 25 = 0               ∧                   Q + 1 = 0

               Q = 25                    ∧                   Q = -1

¿Cuál tomamos?

En un mercado no se puede producir unidades negativas, por lo tanto se descarta Q = -1 y se acepta Q = 25.

a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.

Por lo tanto se deben producir 25 unidades para maximizar los beneficios.

b) Halle qué beneficio obtendrá y represente gráficamente el equilibrio de la empresa.

- Para calcular el beneficio de la empresa

Debemos saber que el Beneficio Total (BT) está representa por los Ingresos totales menos los costos totales, es decir:

                                                   $BT=IT-CT$

Ya tenemos los costos totales, nos faltaría hallar los Ingresos totales.

Los ingresos totales (IT) se calcula multiplicando las unidades por el precio:

                                                     $IT=P.Q$

Reemplazamos el precio:

                                                    $IT=1114Q$

Ahora calculamos la función Beneficios Totales:

                             $BT=1114Q-2Q^3+72Q^2-964Q-10580\\BT=-2Q^3+72Q^2+150Q-10580$

Calculamos los beneficios totales reemplazando Q = 25 ya que es la cantidad que maximiza.

                          $BT=-2(25)^3+72(25)^2+150(25)-10580\\BT=6920$

                Por lo tanto los beneficios totales ascienden a 6920.

Gráfica ( Ver foto adjunta )

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EJERCICIO RESUELTO

¡SALUDOS!