11. SI AM es bisecinz, AM es perpendicular a AF
BN=NC: AB=6 y AC=14. Hallar MN
b) 4
M
ac
C

Adjuntos:

CarlosMath: Al ojo sale 4

Respuestas

Respuesta dada por: rodrigovelazquez897

Respuesta:

MN = 6

Explicación paso a paso:

El ejercicio es un poco extenso pero lo explicaré aquí.

Primero trabajamos sobre el triángulo AMB que es rectángulo, entonces sus ángulos agudos son complementarios entonces suman 90° , le llamé alpha y theta a los agudos aplique coseno a ambos lados de la igualdad, resolví la resta de cosenos para tener que el coseno de alpha sea igual al seno de theta.

Luego usó la fórmula de coseno desde alpha para despejar el segmento AM en función a seno de theta, luego uso la fórmula de coseno nuevamente pero esta vez de theta y elevo ambos miembros al cuadrado para que por transformaciones trigonométricas coloque el seno en vez del coseno de theta. y dejar en función a él el segmento BM. Aplico el teorema de Pitágoras y me queda una ecuación cuadrática con seno de theta hago cambio de variable para usar la fórmula cuadrática y tener dos valores para seno de theta, uno de los valores salió 90° y se descarta porque un triángulo rectángulo no puede tener dos ángulos rectos y nos quedamos con el otro valor.

Teniendo ya el valor de theta puedo obtener el valor de alpha (por ende el valor de 2alpha) y de los segmentos que dejé en función a él.

Luego en el triángulo AMF también rectángulo de hipotenusa AF calculo mediante el coseno de alpha el valor del segmento AF y aplico el teorema de Pitágoras para calcular el último segmento, el MF.

Por suma de segmentos calculo el valor de BF.

Ya en el triángulo ABC calculo el lado BC usando el teorema del coseno y de esa manera tengo el segmento BN ya que N es punto medio por lo tanto vale la mitad de BN.

Luego los angulos theta y theta prima son suplementarios, suman 180° y despejó theta prima para que en el triángulo BMN aplique el teorema del coseno nuevamente para obtener el segmento MN.

Ha salido en decimales pero lo redondee

Adjuntos:

rodrigovelazquez897: Hola, quiero aclarar algo pues tuve un error. No se debe de considerar a theta y theta prima como ángulos suplementarios

rodrigovelazquez897: En realidad lo que se hace es calcular el ángulo B que es la suma de theta con theta prima, al calcular el ángulo B por teorema del coseno se obtiene un ángulo de 49° 23' 55.34"

rodrigovelazquez897: perdón, de 120° 28' 26.62" Es ese el ángulo B que al restarle con el ángulo theta se obtiene el valor de theta prima que es el que coloque en el comentario anterior

rodrigovelazquez897: al obtener ya el theta prima procedemos como indica la foto aplicando el teorema del coseno solo que el valor de theta prima cambia

rodrigovelazquez897: Ya calculado como muestra la imagen el valor del segmento MN es de 4.21 por lo que no se redondea

rodrigovelazquez897: Entonces el valor del MN queda como 4

rodrigovelazquez897: perdón por la equivocación, espero lo entiendas

Respuesta dada por: CarlosMath

1) En el triángulo ABF

Como AM es bisectriz y altura, entonces el triángulo ABF es isósceles:

AF = AB = 6

además BM = MF

2) En el triangulo BFC

como BM = MF y BN = NC, entonces MN = FC/2

Por dato tenemos AC = 14, pero AF = 6 (de 1), entonces FC = 14 - 6 = 8

Por ende MN = 8/2 = 4