Question

Suponga que en Atlanta, el campo magnético de la Tierra
tiene un valor de 55µ T hacia el norte a 60.0° por debajo
de la horizontal. En un anuncio de neón un tubo conduce una
corriente de 35 mA entre dos esquinas diagonalmente opuestas
Del anuncio, que está en un plano vertical norte sur. La
corriente entra en el tubo en la esquina sur inferior del anuncio y sale en la esquina opuesta, que está a 1.40 m más al norte
y 0.850 m más alta. Entre estos dos puntos, el tubo neón traza la
palabra DONUTS. Determine la fuerza magnética vectorial total
ejercida sobre el tubo.

Answer 1

La fuerza total sobre el cartel a causa del campo magnético terrestre es de 55,5 nN horizontal y en dirección hacia el este.

Explicación:

De acuerdo a la ley de Lorentz la fuerza de un campo magnético B sobre un conductor de longitud L que lleva una corriente I es:

$F=i\bar{l}\times \bar{B}$

Y la fuerza tiene una dirección perpendicular al plano de los vectores según la ley de la mano derecha poniendo I en el dedo índice y B en el mayor.

De aquí sale que si hay 2 conductores paralelos con la misma corriente pero en sentidos opuestos la fuerza neta es 0, en el cartel tenemos la barra vertical de la D, las dos barras de la N y la barra de la T que son paralelas y llevan 2 de ellas corriente hacia arriba y las otras dos corriente hacia abajo. No contribuyen a la fuerza.

También tenemos las dos barras rectas de la U que ocurre lo mismo.

La O se puede pensar como una circunferencia y esta como una sucesión de segmentos infinitesimales, y por cada uno que tomemos siempre habrá otro paralelo en el extremo opuesto de la circunferencia llevando una corriente igual y opuesta por lo que tampoco contribuye a la fuerza neta.

Si el cartel tiene 1,4 metros de ancho y 0,85 metros de alto cada letra tiene 0,233m de ancho, el ángulo del segmento diagonal de la N es:

$\alpha=tan^{-1}\frac{0,85m}{0,23m}=75\°$

y su longitud

$l_n=\sqrt{(0,23m)^2+(0,85m)^2}=0,881m$

Podemos suponer que las letras son "cuadradas" para simplificar el cálculo, queda la parte curva de la D que son dos segmentos horizontales cuyas fuerzas se compensan entre sí, el segmento horizontal de la U que se compensa con el horizontal de la T y en la S quedan 2 segmentos verticales y tres horizontales, de los cuales dos horizontales se compensan entre sí.

Para la D queda solo el segmento vertical a la derecha con corriente hacia abajo:

$||F_D||=|i.l.B.sen(-90\°-(-60\°))|=|0,035A.0,85m.5,5\times 10^{-5}T.sen(-30\°)|\\\\||F_D||=8,18\times 10^{-7}N$

En sentido hacia el este.

Para el segmento diagonal de la N suponemos que lleva corriente hacia abajo:

$||F_N||=|i.l.B.sen(-75\°-(-60\°))|=|0,035A.0,881m.5,5\times 10^{-5}T.sen(-15\°)|\\\\||F_N||=4,39\times 10^{-7}N$

También en sentido al este.

De la S solo quedan dos segmentos verticales que podemos tomar como uno solo de longitud 0,85m donde la corriente va hacia arriba:

$||F_{s1}||=|i.l.B.sen(90\°-(-60\°))|=|0,035A.0,85m.5,5\times 10^{-5}T.sen(30\°)|\\\\||F_{s1}||=8,18\times 10^{-7}N$

Fuerza que va hacia el oeste.

Y queda un segmento horizontal que lleva corriente hacia el norte y de longitud 0,23m que es el ancho de la letra:

$||F_{s2}||=|i.l.B.sen(0\°-(-60\°))|=|0,035A.0,23m.5,5\times 10^{-5}T.sen(60\°)|\\\\||F_{s2}||=3,83\times 10^{-7}N$

En sentido hacia el oeste.

Ahora restamos las fuerzas que van hacia el oeste de las que van hacia el este como el campo magnético terrestre va en dirección norte y el cartel está en un plano sur-norte, todas ellas son horizontales y tienen la misma dirección:

$F_{TOT}=8,18\times 10^{-7}N+4,39\times 10^{-7}N-8,18\times 10^{-7}N-3,83\times 10^{-7}N\\\\F_{TOT}=5,55\times 10^{-8}N=55,5nN$