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Divisibilidad y números primos
Divisibilidad
En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede
hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos dividido entre el número de grupos sería una
división entera con resto o sin resto. Caso de que al dividir un número entero n entre otro número entero
d, la división sea exacta sin resto, diremos que n es múltiplo de d, que n es divisible entre d, que d es
divisor de n, o que d divide a n. En este caso, existe un tercer entero (cociente) c, tal que n=c×d. En
general, aplicamos la divisibilidad a números enteros, pudiendo ser positivos o negativos. Por ejemplo,
45 es divisible entre 15, y −33 divide a 198, siendo los cocientes respectivos 3 y −6. La divisibilidad
tiene las siguientes propiedades:
• Reflexiva: para todo entero n, n divide a n (con cociente 1).
• Transitiva: si a divide a b, y b divide a c, entonces a divide a c.
• Valor absoluto: a divide a b si y sólo si |a| divide a |b|.
• Si a divide a b, entonces |a|≤|b|.
• Si a divide a b y b divide a a, entonces a=b o a=−b (en cualquier caso |a|=|b|).
Los enteros positivos p tales que sólo son divisibles por 1, −1, p y −p se llaman números primos, y son
especialmente interesantes como veremos más adelante. Los números primos en orden creciente son 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17,... (el 1 es un caso especial que no se suele considerar primo).
Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad
El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un
número entero cualquiera n:
• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,
• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,
• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es
impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el
número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),
• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5,
• es divisible entre 8 si y sólo si sus el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,
• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,
• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,
• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras
en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).
Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque
sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar
(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161
sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).
Cuando las reglas anteriores no valen
Si nos toca dividir un entero entre uno de los números anteriores, no es complicado ver a priori si la
división tendrá resto 0 o no, pero nos puede tocar dividir entre un número “sin regla simple”, como 7, 13,
47, o 2010. ¿Qué hacemos en un caso como éste? En el caso de los números 7, 13 o 47, poco podemos
Explicación paso a paso:
Hay un total de 20 números de 4 cifras que terminan en 9 y al dividirlo entre 47 dejan residuo 5
Al realizar una división de a/b obtenemos que si se obtiene cociente "c" y residuo "r", entonces
a = b*c + r
Entonces si al dividirlo entre 47 deja residuo 5, queremos que el número sea
a = 47*b + 5
Luego si el mismo termina en 9 queremos que a = 10*k + 9, donde k es una constante entera positiva, para que a tenga cuatro cifras entonces k mayor o igual que 100 y menor o igual que 999
10k + 9 = 47b + 5
10k = 47b + 5 - 9
10k = 47b - 4
k = (47b - 4)/10
100 ≤ (47b - 4)/10 ≤ 999
1000 ≤ 47b - 4 ≤ 9999
1004 ≤ 47b ≤10003
1004/47 ≤ b ≤10003/47
21.36 ≤ b ≤ 212.83
Como b es entero: 22 ≤ b ≤ 212
Luego para que k sea entero, entonces 47b - 4 debe ser múltiplo de 10, entonces 47b debe terminar en 4 para esto b debe terminar en 2, por ejemplo 22, 32, 42, 52, 62 hasta 212 entonces los números son una sucesión desde a1 =22 y d = 10, por lo tanto el término 212 es:
212 = 22 + 10*(n - 1)
19 = n - 1
n = 20
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