Question

Para medir la alrura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos a 5 metros de la torre en línea recta y el ángulo es de 80°. Hallar la altura de la torre.

Answer 1

La altura de la torre es de aproximadamente 12,47 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este problema vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos.      

 

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC  está conformado por el lado AB que equivale a la altura de la torre,  el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta la torre - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DC, y no sabemos la longitud del segmento BD  al cual llamaremos variable x - y el lado AC es la proyección visual hacia la cima de la torre bajo un ángulo de 60°.

El segundo imaginario triángulo rectángulo ABD está configurado por el lado AB que es la altura de la torre, el lado BD que es la distancia sobre el plano del suelo del observador hacia la torre después de haber caminado en línea recta hacia ella 5 metros. Este lado BD es de valor desconocido y es a la que llamamos variable x. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hacia el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 80°.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

• Nos vamos a ocupar de las relaciones trigonométricas entre los dos triángulos rectángulos, prescindiendo del triángulo oblicuángulo ACD en esta clase de problema.

Conocemos en forma parcial la distancia hacia la torre y sabemos de dos ángulos de elevación hacia la cima de la torre uno de ellos de 60° y el otro de 80° dependiendo de cómo se ubique el observador en el plano del suelo mientras observa el punto más alto de la torre en ambos casos.  

• Distancia del observador a la torre  = 5 m + x

• Ángulo de elevación = 60°

• Ángulo de elevación = 80°  

• Debemos hallar la altura de la torre = lado AB = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas,  a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde x será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta la torre, desde que la persona se acercó a la misma 5 metros , que equivale al lado BD sel segundo triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita y será la altura de la torre que es igual a la medida del lado AB de ambos triángulos rectángulos.  

Si 80° y 60 son uno de los ángulos agudos da cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BC), los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura de la torre, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente,  

Como conocemos parcialmente el lado BC, y desconocemos el segmento BD = incógnita x

Dónde el lado AB equivale a la altura de la torre = incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones,

$\boxed {\bold {tan (80)\°=\frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x\ . tan (80)\° = y }}$

$\boxed {\bold {tan (60)\°=\frac{y}{x+5} \ \ \ \ \ \ \ \\\\\ \ \ \ \to (x+5)\ . \ tan (60)\° = y }}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x,

$\boxed {\bold {x \ . \ tan (80)\°= (x +5)\ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold {x \ . \ tan (80)\°= \ x\ . \ tan (60)\° +5\ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold {x \ . \ tan (80)\°- \ x\ . \ tan (60)\° =5\ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold {x \ . \ ( tan (80)\°- \ tan (60)\°) =5\ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 5\ . \ tan (60)\° }{ \ ( tan (80)\°- \ tan (60)\°) } }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 5\ . \ 1,732 }{ \ 5,671- \ 1,732 } }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 8,66 }{ \ 3,939 } }}$

$\boxed {\bold {x = 2,20 \ metros }}$

La medida del segmento BD es de ≅ 2,20 metros

Hallando la altura de la torre

Si

$\boxed {\bold {y\ = x\ . \ tan (80)\°}}$

y

$\boxed {\bold {x = \frac{ 5\ . \ tan (60)\° }{ \ ( tan (80)\°- \ tan (60)\°) } }}$

Reemplazando,

$\boxed {\bold {h = \frac{ 5\ . \ tan (60)\° \ . \ tan(80)\° }{ \ ( tan (80)\°- \ tan (60)\°) } }}$

$\boxed {\bold {h = \frac{ 5\ . \ 1,732 \ . \ 5,671 }{ \ 5,671- \ 1,732 } }}$

$\boxed {\bold {h = \frac{ 49,11086 }{ 3,939 } }}$

$\boxed {\bold {h = 12, 47 \ metros }}$

La altura de la torre es de ≅ 12,47 metros